Nawigacja morska

Obliczanie długości ortodromy na mapie gnomonicznej

Mapa gnomoniczna, obliczanie systemem angielskim i systemem niemieckim, siatka Mead'a oraz graficzny (awaryjny) sposób na obliczenie długości ortodromy

7

Mapa gnomoniczna

Mapa gnomoniczna powstaje przez rzut powierzchni kuli ziemskiej na powierzchnię styczną do tej kuli w określonym punkcie. Rozróżnia się trzy rzuty gnomoniczne:

• Biegunowy, gdzie punktem styczności jest biegun ziemski.
• Równikowy, gdzie punktem styczności jest równik.
• Zwykły, punktem styczności jest dowolny punkt pomiędzy biegunem a równikiem.

W przypadku map gnomonicznych wszystkie wielkie koła (południki, ortodromy) są prostymi, wszystkie równoleżniki są krzywymi (kołami w rzucie biegunowym, albo elipsami i parabolami w zależności od szerokości równoleżnika i punktu styczności), wszystkie kąty (z wyjątkiem prostych i tych których wierzchołki leżą w punkcie styczności) są zniekształcone. Pomiar odległości wykonuje się za pomocą podanych na mapie podziałek.

Mapy gnomoniczne służą do graficznego rozwiązywania problemów żeglugi po ortodromie. Kiedyś były też wykorzystywane do określania pozycji przy pomocy radionamiarów.

Obliczanie odległości na mapie gnomonicznej

System angielski

Na mapie mamy zakreślone koło, którego obwód przechodzi przez punkt styczności, oraz przez biegun. Koło to nazywamy kołem do mierzenia odległości za pomocą różnicy szerokości.

• Do wykreślonej ortodromy prowadzimy prostopadłą TC, z punktu styczności.
• Następnie odmierzamy tą odległość TC cyrlem. I pozostawiając jedną nóżkę w punkcie T, drugą przenosimy na obwód koła otrzymując C'.
• Przez punkt C' kreślimy południk łącząc go z biegunem.
• Z punktu C odmierzamy odcinek CA i CB i przenosimy na południk mierząc od punktu C'.
• W wyniku tego otrzymujemy dwa odcinki C'A' i C'B'.
• Zdejmujemy współrzędne punktów A' i B', których różnica szerokości pomnożona przez 60 da nam długość ortodromy.

Znak (−) już nam sygnalizuje, że będziemy się przemieszczać z punktu A do punktu B na południe, czyli punkt B leży na południe od punktu A.

System niemiecki

Kolejność postępowania:

• Łączymy punkty A i B, wyjścia i przyjścia.
• Z punktu styczności H wystawiamy prostą prostopadłą do prostej AB (ortodromy) i otrzymujemy punkt C.
• Odcinkiem HC zataczamy łuk do przecięcia się z południkiem punktu H.
• Różnicę kątową między szerokością C', a szerokością punktu H wykreślamy z punktu H.
• Na ramieniu powstałego kąta odkładamy odcinki ortodromy AC i BC licząc zawsze od H.
• Z punktu A' i B' prowadzimy prostopadłe do południka punktu H i otrzymujemy punkty A'' i B''.
• Suma różnic szerokości tych punktów od punktu H daje nam odległość po ortodromie.

Powyższe mapy gnomoniczne są tylko szkicami i służą do przedstawienia graficznego sposobu obliczenia długości ortodromy, dlatego wyniki liczone "matematycznie" mogą mocno odbiegać od tych liczonych powyżej.
Długość ortodromy liczona na oryginalnej mapie gnomonicznej nie odbiega od jej długości liczonej matematycznie.

W wypadku, gdy ortodroma jest "za krótka" tzn. nie możemy od niej bezpośrednio poprowadzić prostopadłą do punktu styczności H, wówczas przedłużamy ją tak, aby przecięła się z prostopadłą poprowadzoną z punktu styczności H. w tym wypadku długość ortodromy nie będziemy liczyć jako odcinka HA'' + HB'', lecz wówczas długością ortodromy będzie odcinek A''B''.
To samo odnosi się do systemu angielskiego, z tym, że punkty A' i B', odkładamy z jednej strony punktu C', a nie z obu stron.

Siatka Mead'a

Służy nam do określenia miejsca, w którym ortodroma przetnie równik, gdy φ_A i φ_B są różnoimienne.

Kolejność postępowania:

• Punkt docelowy B różnoimienny z A odmierzamy z drugiej strony równika tak, że staje się jednoimienny z A. DB = BD.
• Punkty A i B rzutujemy na równik i otrzymujemy punkty C i D.
• Punkt C łączymy z B, a D z A.
• Otrzymujemy punkt E.
• Rzutujemy punkt E na równik.
• Punkt X to miejsce, w którym ortodroma przetnie równik.

Graficzny sposób na obliczenie długości ortodromy (sposób awaryjny)

Nie zawsze na statku mamy do dyspozycji mapy gnomoniczne służące do obliczania długości ortodromy. Wówczas, możemy wykorzystać różę kompasową narysowaną na każdej mapie. Niestety ten sposób obliczania długości ortodromy ma wiele do życzenia - po prostu jest niezbyt dokładny. Obliczenia matematyczne (wzorami), a graficzne (na róży kompasowej) różnią się dość znacznie. Różnice te dochodzą od 20 do 30 Mm.

Jak mawiają starzy marynarze "ortodroma to ocean, a ocean to nie apteka", no i nie ma się czym przejmować. Jak już przepłyniemy ocean na drugą stronę, to zaczynamy żeglugę przybrzeżną, a więc dokładną i po problemie.

Jak graficznie obliczamy długość ortodromy na róży kompasowej?

• Zakładamy, że róża kompasowa to kula ziemska, z tym, że my patrzymy na nią z góry i znajdujemy się nad biegunem (środek róży kompasowej). Tarcza na, której są stopnie to równik (płaszczyzna równika). Prosta łącząca biegun z cyfrą 0° na równiku to południk Greenwich, a przeciwny południk (od bieguna do 180°) to południk zmiany daty. Na E i W widzimy południki odzwierciedlające 090°.
• Dane naszej ortodromy to: (A) φ_A = 60°N i λ_A = 004°W, oraz (B) φ_B = 55°N i λ_B = 049°W.
• Z punktu 0° wykreślamy linię pomocniczą styczną do równika, a prostopadłą do południka Greenwich.
• Na równiku zaznaczamy punkty A i B, to znaczy ich szerokości.
• Z tych punktów prowadzimy linie prostopadłe, aż do przecięcia się z linią pomocniczą, są to odcinki SA i SB. Odcinek na linii pomocniczej między dopiero-co narysowanymi prostopadłymi to rφ.
• Następnie rysujemy południki punktów A i B od bieguna do równika, które to odzwierciedlają długości geograficzne punktów A i B. Południk punktu A to 004°W, a południk punktu B to 049°W.
• Na narysowanych południkach odkładamy odcinki SA na południku punktu A oraz SB na południku punktu B poczynając od równika w stronę bieguna.
• Na południku punktu A, otrzymujemy punkt C, a na południku punktu B, otrzymujemy punkt D. Łączymy te punkty prostą.
• Z punktu D rysujemy prostą prostopadłą do odcinka CD i na niej odmierzamy odcinek (DE) równy rφ, otrzymując punkt E.
• Punkt E łączymy z punktem C. To jest nasza ortodroma.
• Przenosimy odcinek CE (ortodromę) na obwód równika, jeden koniec umieszczamy w punkcie 0°, a drugi będziemy mieli w punkcie 23,75°.
• Wystarczy wymnożyć 23,75° ∗ 60' = 1425Mm.
• Z obliczeń matematycznych nasza ortodroma ma 1451,5Mm, a więc różnica jest 26,5Mm.

Jak wyjaśnić tak dużą różnicę. To bardzo proste. Po prostu decyduje o tym grubość zatemperowanego ołówka, a więc dokładność rysunku. Jaka to dokładność?
Proszę zauważyć, że 1° na obwodzie równika to 60' = 60Mm. Jeżeli wymiar liniowy 1° to 2mm, to już wiemy skąd tak duża pomyłka (jak podzielić te 2mm na 10 części, czyli odcinki 6-cio milowe?).
Dlatego jest to system "awaryjny".