Nawigacja morska
Żegluga mieszana i zbieżność południków
Żegluga mieszana, obliczanie ortodromy w żegludze mieszanej, zbieżność południków, zmiana KDd na ortodromie o 1°
6
Żegluga mieszana
(ortodroma – loksodroma – ortodroma)
Z żeglugą mieszaną mamy do czynienia, gdy wierzchołek ortodromy znajduje się w niebezpiecznych rejonach dla nawigacji. Warunki tam panujące mogą tak spowolnić szybkość statku, że nie warto tam w ogóle nawigować.
W kolorze żółtym zaznaczono akwen, w którym uprawianie żeglugi jest niebezpieczne.
A–WI - pierwsza ortodroma zastępcza ; WI–WII - Loksodroma ; WII–B - druga ortodroma zastepcza.
Obliczanie drogi przy żegludze mieszanej
I-sza ortodroma zastępcza.
sin φA = sin φG cos d1
cos d1 = sin φA cosec φG
φG - to szerokość graniczna, poza którą żegluga jest niebezpieczna.
II-ga ortodroma zastępcza.
Loksodroma
a = rλ cos φG
dcałkowita = d1 + a + d2
Kurs początkowy i końcowy
cos φG = cos φA sin α
sin α = cos φG sec φA
sin β = cos φG sec φB
Wierzchołek ortodromy
φW1 oraz φW2 są znane ; jest to tzw. φG (szerokość graniczna) za, którą statek nie powinien wypłynąć ze względu na niebezpieczeństwo.
cos rλW1 = tg φA ctg φG
cos rλW2 = tg φB ctg φG
Punkty podziału
Oblicza się tylko dla dróg po ortodromie. Wzory na φ są takie same jak dla ortodromy klasycznej.
Długość obliczamy przez odjęcie przyjętej przez nas rλ, od właściwego wierzchołka.
Kursy dla punktów podziału.
Tak samo jak dla ortodromy klasycznej, z tym, że obliczamy osobno kursy dla I-szej ortodromy zastępczej, a osobno dla II-giej ortodromy zastępczej; tak jak gdyby tworzyły dwie niezależne ortodromy.
Należy dodać, że kursy obliczamy od pozycji (wyjściowej i docelowej) do wierzchołków. To znaczy, że kursy obliczone dla II-giej ortodromy, czyli od pozycji docelowej do wierzchołka musimy "odwrócić", czyli do każdego kursu dodać 180°.
Matematyczne obliczanie ortodromy w żegludze mieszanej
Z uwagi na przejrzystość przykładu, proszę odwrócić ekran na poziomo, lub skorzystać z urządzenia o większym ekranie.
Szukane: obliczyć całą ortodromę złożoną.
1. Obliczamy różnicę szerokości i różnicę długości ortodromy właściwej.
(−) φA = −43°00'0
rφ = +03°00'0
rφ = +180'0
(−) λA = +147°20'0
rλ = −221°50'0
rλ = +138°1'0
rλ = +8290'0
Najpierw musimy obliczyć [α] kąt początkowy ortodromy właściwej, aby następnie obliczyć jej największą szerokość - co da nam obraz, czy ortodroma przekroczyła szerokość graniczną czy też nie.
2. Obliczamy [α] kąt początkowy ortodromy właściwej i [φ] szerokość jej wierzchołka.
(+) B = −1,25
C = −2,29
α = S 31° E
α = 149°
log cos φA = 9,86413
log sin α = 9,71184
log cos φW = 9,57597
φW = 67°52'7 S
Ortodroma przekroczy szerokość graniczą
φW = 67°52'7 S
A więc mamy do czynienia z żeglugą mieszaną. Musimy obliczyć dwie ortodromy zastępcze i loksodromę.
3. Obliczamy współrzędne wierzchołków obydwu ortodrom zastępczych. Szerokości obu wierzchołków już mamy, jest to szerokość graniczna [φG = 55°00'0 S].
Przystępujemy do obliczeń długości geograficznej obu wierzchołków wg wzoru
log ctg φG = 9,84523
log cos rλW1 = 9,81489
rλW1 = +49°14'0
log ctg φG = 9,84523
log cos rλW2 = 9,76904
rλW2 = −54°01'0
Pytanie: dlaczego przy jednym rλ jest znak (−), a przy drugim znak (+).
Po prostu, dla właściwych obliczeń.
Otóż, rλ ortodromy właściwej ma znak (+), czyli statek płynie z zachodu na wschód. Co jest zgodne ze znakiem I-szej ortodromy zastępczej. Ponieważ rλ każdej ortodromy zastępczej obliczamy w stosunku (w stronę) do jej wierzchołka, widzimy, że w wypadku I-szej ortodromy zastępczej przesuwamy się na wschód (+), ku wierzchołkowi. Również do wierzchołka II-giej ortodromy przesuwamy się, ale od pozycji "B", czyli od wschodu na zachód (−), dlatego druga rλ posiada znak (−).
Czyli:
Płyniemy od A do W1 dalej do W2 i kończymy żeglugę w punkcie B.
Natomiast liczymy (ortodromy zastępcze) od A do W1, i od B do W2.
Odcinek W1-W2 to nasza loksodroma.
A więc:
(+) rλW1 = +49°14'0
rλW1 = +169°34'0
rλW1 = 163°26'0 W
(+) rλW2 = −54°01'0
rλW2 = −128°31'0
rλW2 = 128°31'0 W
4. Obliczamy całą drogę do przebycia ∑ = d1 + a + d2
log cosec φG = 0,08664
log cos d1 = 9,92042
d1 = 33°38'2
d1 = 2018,2Mm
log cosec φG = 0,08664
log cos d2 = 9,89471
d2 = 38°18'4
d1 = 2298,4Mm
rλ = różnica długości między wierzchołkami ortodrom zastępczych (pierwszej i drugiej zastępczej)
(−) λW1 = −163°26'0
rλ = 34°55'0
rλ = 2095'0
log cos φG = 9,75859
log a = 3,07977
a = 1201,6Mm
a = 1201,6Mm
(+) d2 = 2298,4Mm
∑d = 5518,2Mm
Przy żegludze mieszanej, po ortodromie, nie obliczamy zysku.
5. Określamy i obliczamy punkty podziału; osobno dla I-szej ortodromy zastępczej i osobno dla II-giej ortodromy zastępczej, używając do tego wzoru
I-sza ortodroma zastępcza ma "długość" 49°14'0, więc dzielimy ją na 7 części, czyli rλZ1 = co 7° (dzielenie zaczynamy od wierzchołka ortodromy)
II-ga ortodroma zastępcza ma "długość" 54°01'0, więc dzielimy ją na 9 części, czyli rλZ2 = co 6° (dzielenie zaczynamy od wierzchołka ortodromy)
I-sza ortodroma zastępcza:
Za mała rozdzielczość ekranu by prawidłowo wyświetlić tabelę
Odwróć ekran lub skorzystaj z większego urządzenia
II-ga ortodroma zastępcza:
Za mała rozdzielczość ekranu by prawidłowo wyświetlić tabelę
Odwróć ekran lub skorzystaj z większego urządzenia
Podział całej ortodromy wygląda następująco:
| Pozycja | φ | λ |
| A | 43°00'0 S | 147°20'0 E |
| Z1 | 46°35'8 S | 154°34'0 E |
| Z2 | 49°23'6 S | 161°34'0 E |
| Z3 | 51°31'5 S | 168°34'0 E |
| Z4 | 53°05'1 S | 175°34'0 E |
| Z5 | 54°09'3 S | 177°26'0 W |
| Z6 | 54°47'1 S | 170°26'0 W |
| W1 | 55°00'0 S | 163°26'0 W |
| W2 | 55°00'0 S | 128°31'0 W |
| Z7 | 54°51'0 S | 122°31'0 W |
| Z8 | 54°24'1 S | 116°31'0 W |
| Z9 | 53°38'1 S | 110°31'0 W |
| Z10 | 52°31'7 S | 104°31'0 W |
| Z11 | 54°02'4 S | 098°31'0 W |
| Z12 | 49°07'5 S | 092°31'0 W |
| Z13 | 46°41'8 S | 086°31'0 W |
| Z14 | 43°41'5 S | 080°31'0 W |
| B | 40°00'0 S | 074°30'0 W |
6. Obliczamy kursy pomiędzy poszczególnymi punktami zwrotu, poczynając od pozycji "A", w wypadku I-szej ortodromy oraz od pozycji "B", w wypadku II-giej ortodromy.
Kursy obliczymy przy pomocy tablic ABC.
| od → do | A | B | C | KDd | KDd | KDd |
| A → Z1 | +0,81 | −1,89 | −1,08 | S52°E | 128° | |
| Z1 → Z2 | +1,17 | −2,13 | −0,96 | S57°E | 123° | |
| Z2 → Z3 | +1,67 | −2,49 | −0,82 | S62°E | 118° | |
| Z3 → Z4 | +2,36 | −3,04 | −0,68 | S67°E | 113° | |
| Z4 → Z5 | +3,46 | −3,99 | −0,53 | S72°E | 108° | |
| Z5 → Z6 | +5,52 | −5,90 | −0,38 | S77°E | 103° | |
| Z6 → W1 | +11,63 | −11,72 | −0,09 | S87°E | 093° | |
| W1 → W2 | 090° | 090° | ||||
| W2 → Z7 | +13,59 | −13,66 | −0,07 | S88°W | +180° | 088° |
| Z7 → Z8 | +6,62 | −6,87 | −0,25 | S82°W | +180° | 082° |
| Z8 → Z9 | +4,01 | −4,62 | −0,61 | S75°W | +180° | 075° |
| Z9 → Z10 | +2,92 | −3,51 | −0,59 | S70°W | +180° | 070° |
| Z10 → Z11 | +2,14 | −2,86 | −0,72 | S66°W | +180° | 066° |
| Z11 → Z12 | +1,58 | −2,43 | −0,58 | S58°W | +180° | 062° |
| Z12 → Z13 | +1,11 | −2,13 | −1,02 | S58°W | +180° | 058° |
| Z13 → Z14 | +0,87 | −1,92 | −1,05 | S53°W | +180° | 053° |
| Z14 → B | +0,61 | −1,77 | −1,16 | S48°W | +180° | 048° |
UWAGI:
1. Przypomnijmy sobie argumenty wejściowe i wyjściowe Tablic ABC
A → φzn ; rλzn
B → φG ; rλzn
C → φzn ; αzn
2. Kursy między punktami podziału liczymy od pozycji (początkowej lub końcowej) do wierzchołka, dlatego każdy kurs od wierzchołka W2 musimy "obrócić" o 180°
3. W przypadku I-szej ortodromy zastępczej, patrz punkt 2. (Z porównania Δ sferycznego astronomicznego z Δ biegunowym nawigacyjnym, pamiętamy, że gλ = rλ, musimy ją zamienić na tλ, a ponieważ gλ = E), musimy ją odjąć od 360° i z tym argumentem wejść do Tabeli ABC.
4. Natomiast w przypadku II-giej ortodromy zastępczej gλ "pokrywa" się z tλ (obliczając kursy z "B" do "W2" płyniemy kursem West). A wiemy, że jest odwrotnie i dlatego kursy odwracamy o 180°.
5. Każda konstrukcja tablic ABC jest dobra, jest to kwestia "przyzwyczajenia się" do tablic, którymi operujemy na co dzień.
Całą ortodromę (czy to klasyczną, czy "bez" wierzchołka, czy "mieszaną") kreślimy na mapie generalnej aby zobaczyć jej kształt i przebieg. Natomiast nawigację prowadzimy na mapach zwanych "arkuszami zliczeniowymi" (patrz Konstrukcja mapy Merkatora).
Zbieżność południków
Kąty, pod którym ortodroma przecina południki w stosunku do kąta początkowego "α" rosną albo maleją. Różnica kątowa między początkowymi kątami drogi w dwóch punktach na ortodromie nazywamy zbieżnością południków - "u".
α + β = 180° − u
(α + β) ⁄ 2 = 90° − (u ⁄ 2)
do dalszego wyprowadzenia wzoru
Wyprowadzenie wzoru na zbieżność południków
Z uwagi na przejrzystość wzorów, proszę odwrócić ekran na poziomo, lub skorzystać z urządzenia o większym ekranie.
tg ((A+B) ⁄ 2) = cos ((a−b) ⁄ 2) sec ((a+b) ⁄ 2) ctg (C ⁄ 2)
A = α ; B = β ; C = rλ ; a = 90° − φB ; b = 90° − φA ; c = d
tg ((α+β) ⁄ 2) = cos [((90°−φB) − (90°+φA)) ⁄ 2] sec [((90°−φB) + (90°−φA)) ⁄ 2] ∗ ctg (rλ ⁄ 2)
tg ((α+β) ⁄ 2) = cos [(90° − φB − 90° + φA) ⁄ 2] ∗ sec [(90° − φB + 90° − φA) ⁄ 2] ∗ ctg (rλ ⁄ 2)
tg ((α+β) ⁄ 2) = cos [(−(φB−φA)) ⁄ 2] ∗ sec [90° − ((φA+φB) ⁄ 2)] ∗ ctg (rλ ⁄ 2)
tg ((α+β) ⁄ 2) = cos [−((rφ) ⁄ 2)] ∗ sec [90° − φśr] ∗ ctg (rλ ⁄ 2)
tg ((α+β) ⁄ 2) = cos (rφ ⁄ 2) ∗ cosec φśr ∗ ctg (rλ ⁄ 2) podstawiamy
tg (90° − (u ⁄ 2)) = cos (rφ ⁄ 2) ∗ cosec φśr ∗ ctg (rλ ⁄ 2)
ctg (u ⁄ 2) = cos (rφ ⁄ 2) ∗ cosec φśr ∗ ctg (rλ ⁄ 2)
tg (u ⁄ 2) = sec (rφ ⁄ 2) ∗ sin φśr ∗ tg (rλ ⁄ 2)
Operowanie takim wzorem jest trochę kłopotliwe, tym bardziej gdybyśmy chcieli policzyć to przy pomocy kalkulatora. Wobec tego pokażmy ten wzór w uproszczonej postaci.
Wyprowadzenie uproszczonej postaci wzoru:
tg (u ⁄ 2) = sec (rφ ⁄ 2) ∗ sin φśr ∗ tg (rλ ⁄ 2)
Przy małych wartościach kątów wiemy, że: tg x° = x° tg 1°
analogicznie
tg (u° ⁄ 2) = (u° ⁄ 2) tg 1°
tg (rλ ⁄ 2) = (rλ ⁄ 2) tg 1°
(u° ⁄ 2) tg 1° = sec (rφ ⁄ 2) ∗ sin φśr ∗ (rλ ⁄ 2) tg 1° /: tg 1°
u° ⁄ 2 = (rλ ⁄ 2) ∗ sin φśr ∗ sec (rφ ⁄ 2) /: 2
Uwaga: sec (rφ ⁄ 2) < 5°
Wartość zbliżona do jedności sec (rφ ⁄ 2) ≅ 1°
u = rλ sin φśr
Analiza wzorów:
We wzorze występują następujące elementy: rφ ; φśr ; rλ
Jeżeli rλ = 0° to
tg rλ = 0°
tg u = 0°
u = 0°
nie ma zbieżności południków
Jeżeli sin φśr = 0° to
sin φśr = 0°
u = 0°
ma tą samą wartość, tylko φA = N ; a φB = S ; lub na tym samym równoleżniku.
"u"+ ; jeżeli przestrzegamy następujących reguł:
- jeżeli φA i φB są jednoimienne, a "α" liczone od bieguna jednoimiennego z φA, oraz liczone od tego samego bieguna co φA na E i W od 000° do 180°
- jeżeli φA i φB są różnoimienne, a "α" jest mierzone od bieguna jednoimiennego z φśr to "u" (+) i liczone od bieguna jednoimiennego z φśr na E i W od 000° do 180°
Pytanie do czego ten wzór jest potrzebny? Odpowiedź - do obliczenia zmiany KDd na ortodromie o 1°
Zmiana KDd na ortodromie o 1°
Mamy dwa rodzaje obliczeń zmiany KDd:
- Po przebyciu pewnej różnicy długości (obliczanie punktów zwrotnych).
- Po przebyciu takiego odcinka drogi na, którym KDd zmienia się o 1°.
Zależnie od przebiegu ortodromy, zmiana kąta o 1° następuje bardzo szybko, względnie powoli. Odpowiedź na pytanie, po przebyciu ilu mil morskich (Mm), kierunek drogi ulegnie zmianie o 1°, daje nam wzór:
φA = szerokość geograficzna punktu wyjścia
KDd = kurs początkowy ortodromy.
Wyprowadzenie wzoru
Dane: φA = φśr oraz u = 1° = 60'
Uproszczony wzór na zbieżność południków u = rλ sin φśr
rλ sin φśr = 60'
rλ = 60' cosec φśr
z Δ drogowego wiemy, że rλ = a sec φśr więc
a sec φśr = 60' cosec φśr
a = 60' ctg φśr
z Δ drogowego wiemy, że a = d sin KDd a więc
d sin KDd = 60' ctg φśr
d = 60' ctg φśr cosec KDd czyli
d = 60' ctg φA cosec KDd
Kalkulator - obliczanie ortodromy. Wprowadzając współrzędne pozycji wyjściowej i pozycji docelowej, komputer obliczy optymalną ortodromę.
Żegluga po ortodromie
Obliczanie odległości na mapie gnomonicznej
