Nawigacja morska
Żegluga po ortodromie
Ortodroma, droga po ortodromie, wyprowadzenie wzoru na odległość ortodromiczną, droga po loksodromie, kurs początkowy i końcowy ortodromy oraz przyklady
5
Ortodroma
Ortodroma jest krótszym łukiem koła wielkiego przechodzącego przez dwa punkty (AB) na powierzchni Kuli Ziemskiej.
Ortodroma jest najkrótszą drogą między dwoma punktami na powierzchni Kuli Ziemskiej. Koło wielkie przechodzące przez dwa punkty (AB) przecina równik w dwóch punktach, które leżą na linii prostej przechodzącej przez środek kuli. Punkty przecięcia się koła wielkiego z równikiem są oddalone od siebie o 180°. Punkty leżące na kole wielkim posiadające największą szerokość nazywamy wierzchołkami. Każde koło wielkie posiada dwa wierzchołki. Jeden z nich leży na półkuli północnej, drugi na południowej. Wierzchołek koła wielkiego leżący najbliżej ortodromy nazywamy wierzchołkiem ortodromy. Różnica wierzchołków ortodromy wynosi 180°. Równoleżniki wierzchołków są styczne do koła wielkiego. Ortodroma przecina południk wierzchołka koła wielkiego pod kątem prostym. Kąt drogi ortodromy w tym punkcie wynosi 090° lub 270°.
Kąt zawarty między północną częścią południka punktu wyjścia nazywamy kątem początkowym (α).
Kąt zawarty między północną częścią południka punktu przeznaczenia, a ortodromą nazywamy kątem końcowym (przyjścia) (β).
Przebieg ortodromy na mapie Merkatora
Ortodroma przecina wszystkie południki pod różnymi kątami. Swoim wygięciem skierowana jest w stronę bieguna.
Zastosowanie żeglugi po ortodromie
Stosujemy powyżej 400Mm, do 400Mm nie zyskujemy nic na drodze. Tutaj, mała uwaga - ta opcja została przyjęta w zamierzchłych czasach, a jej celem była ekonomia. Szczególną rolę odegrała w czasach, kiedy wielkie transatlantyki rywalizowały o "Błękitną Wstęgę Atlantyku Północnego". Niestety, dzisiaj zastosowanie ortodromy jest "prawie" zerowe. Ale warto znać ten problem.
Największy zysk na odległości uzyskujemy gdy punkt wyjścia i przeznaczenia leżą na tej samej szerokości, ale nie na równiku i kiedy różnica długości jest duża. Najmniejszy zysk mamy gdy punkty A i B leżą na małych szerokościach lub gdy rλ jest mała. W pierwszym wypadku ortodroma jest zliczona do równika, a w drugim do południka.
W dużych szerokościach nie zawsze możemy odbywać żeglugę po ortodromie, gdyż wygięta bardzo silnie ku biegunowi przechodziłaby przez obszary zajęte lodami, mgły, silne przeciwne wiatry, zysk na takiej ortodromie mógłby być mniejszy, albo mógłby być stracony przez zmniejszenie szybkości, wymijanie gór lodowych, pokonywanie wiatru. Żegluga po ortodromie ma zastosowanie na Północnym Atlantyku i na Oceanie Spokojnym. W licznych przypadkach stosuje się żeglugę mieszaną, gdzie częściowo przebywa się drogę po ortodromie, a częściowo po loksodromie.
Droga po ortodromie
Korzyści z żeglugi po ortodromie. Zasadnicza rzecz - zysk na drodze.
Ortodromę dzielimy na małe odcinki, które łączymy loksodromami, po których steruje statek z jednego punktu do drugiego. W ten sposób następuje połączenie żeglugi po ortodromie z żeglugą po loksodromie, uzyskując przez to:
- Możliwie najkrótszą drogę (ortodroma).
- Możliwość sterowania wg kompasu (loksodroma).
Postępowanie przy obliczaniu drogi po ortodromie
Obliczając ortodromę musimy znaleźć odpowiedź na następujące pytania:
- Jaka jest odległość drogi po ortodromie?
- Czy opłaca się obliczanie ortodromy? Jeżeli tak to:
- Jaki jest kurs początkowy i końcowy?
- Jaką najwyższą szerokość osiągnie ortodroma?
- Przez jakie punkty będzie przechodziła ortodroma?
- Jakimi kursami należy iść od punktu do punktu i jak wielkimi będą drogi (odcinki) do przebycia?
Droga po ortodromie
Ponieważ ortodroma jest łukiem koła wielkiego, w takim razie wraz z południkami punktów przez, które przechodzi tworzy Δ sferyczny na powierzchni Ziemi.
Elementami tego Δ są:
bok AB - droga po ortodromie
bok APn - dopełnienie szerokości punktu A
bok BPn - dopełnienie szerokości punktu B
α - kurs początkowy
β - kurs końcowy
λ - różnica długości punktu A i B
Drogę po ortodromie oblicza się z dowolnego wzoru na długość boku AB z wyszczególnionego Δ sferycznego, gdy dane są pozostałe boki i kąt między nimi zawarty.
- Wzór semiwersusowy:
sem d = sem x + sem rφ
- Wzór cosinusowy:
- Wzór semiwersusowy, który możemy używać jedynie, gdy droga jest mniejsza niż 90°:
sec d = sec rλ sec x
- Dowolne układy tablicowe (analogie Nepera).
Wyprowadzenie wzoru na odległość ortodromiczną
cos d = cos (90° − φA) cos (90° − φB) + sin (90° − φA) sin (90° − φB) cos rλ
cos d = sin φA sin φB + cos φA cos φB cos rλ (wzór cosinusowy)
sem x = sin² (x ⁄ 2)
1 − cos x = 2 sin² (x ⁄ 2) /:2
(1 − cos x) ⁄ 2 = sin² (x ⁄ 2)
(1 − cos x) ⁄ 2 = sem x
1 − cos x = 2 sem x
cos x = 1 − 2 sem x (za "x" podstawiamy "rλ")
cos rλ = 1 – 2 sem rλ
cos d = sin φA sin φB + cos φA cos φB (1 − 2 sem rλ) [wymnażamy]
cos d = sin φA sin φB + cos φA cos φB − 2 cos φA cos φB sem rλ
cos (φB−φA) = sin φA sin φB + cos φA cos φB
cos rφ = sin φA sin φB + cos φA cos φB
cos d = cos rφ − 2 cos φA cos φB sem rλ
1 − 2 sem d = 1 − 2 sem rφ − 2 cos φA cos φA sem rλ /:(−2)
sem d = sem rφ + cos φA cos φB sem rλ
sem x = cos φA cos φB sem rλ
sem d = sem rφ + sem x
Uwagi do wzorów:
Wzór na odległość ortodromiczną może być stosowany we wszystkich przypadkach:
- Jeżeli φA i φB są równoimienne to wierzchołkiem Δ sferycznego jest biegun równoimienny z szerokością φA i φB.
- Jeżeli φA i φB są różnoimienne to wierzchołkiem Δ sferycznego jest biegun jednoimienny z szerokością większą.
- Wypadki szczególne. Ortodroma przecina równik - wzór ten jest aktualny pod warunkiem, że różnicę szerokości obliczymy algebraicznie. W tym przypadku wybieramy żeglugę po loksodromie, gdyż zysk po ortodromie jest niewielki.
Kąt przecięcia ortodromy z równikiem stanowi punkt wierzchołka.
Droga po loksodromie
Z trójkąta drogowego
a ⁄ rλ = tg KDd
a = rλ cos φśr
d = rφ sec KDd
tg KDd = (rλ cos φśr) ⁄ rφ
w miejsce φśr do wzoru wstawiamy φuś
Aby dokładnie obliczyć "d", musimy dokładnie obliczyć KDd. Dlatego KDd obliczamy ze wzoru tg KDd, a potem wartość KDd podstawiamy do sec KDd.
Jak już wiemy tak obliczona droga nie może przekraczać 600Mm. Ortodromy są o wiele dłuższe, więc ponad 600Mm, zboczenie nawigacyjne "a" nie będzie linią prostą, a krzywą wypukłą w stronę ortodromy, więc loksodroma zostanie również "zakrzywiona", a tym samym skrócona. Aby temu zapobiec musimy wprowadzić poprawki.
Poprawkę taką nazywamy uśrednioną szerokością (φuś).
Do naszego φuś dodajemy z odpowiednim znakiem, wartość tablicową i otrzymujemy φuś.
Wartość tą odczytujemy w tabeli.
Zysk na ortodromie dLOKS − dORT = (zysk)
Kurs początkowy i końcowy ortodromy
Przy obliczaniu kursu początkowego i końcowego ortodromy możemy stosować następujące wzory:
- Wzór połówkowy z analogii Nepera
- Wzór sinusowy
- Układ tabeli ABC
Ad.1.
tg ((A−B) ⁄ 2) = sin ((a−b) ⁄ 2) ∗ sec ((a+b) ⁄ 2) ∗ ctg (C ⁄ 2)
Jeżeli b>a wówczas we wzorze drugim wartość sinusa będzie ujemna. Aby tego uniknąć należy dane przestawić z tym, że i w wyniku kąty A i B muszą być przestawione.
Ponieważ kąty w trójkącie sferycznym mogą przybierać wartości od 000° - 180°, dlatego otrzymane wartości wyrażamy w mierze połówkowej.
α - pierwszy znak od bieguna widocznego
β - pierwszy znak od bieguna niewidocznego
drugie znaki od rλ
Ad.2.
sin α ⁄ (sin (90°−φA)) = sin β ⁄ (sin (90°−φB)) = (sin rλ) ⁄ (sin d)
(sin α) ⁄ (cos φB) = (sin rλ) ⁄ (sin d) /(×) sin d cos φB
sin α sin d = cos φB sin rλ
sin α = (cos φB sin rλ) ⁄ sin d
sin α = cos φB sin rλ cosec d
sin β = cos βA sin rλ cosec d
Uwaga: nie można określić ćwiartek!
Ad.3.
Porównanie Δ sferycznego astronomicznego z Δ biegunowym nawigacyjnym
| Oznaczenie | Δ nawig. | Δ sferyczny | Oznaczenie |
| Szerokość pozycji początkowej | φA | φ | Szerokość pozycji zliczonej |
| Szerokość pozycji końcowej | φB | δ | Deklinacja ciała niebieskiego |
| Różnica długości | rλ | gλ | Miejscowy kąt godzinny |
| Kurs początkowy | α | ω | Azymut ciała niebieskiego |
| Kurs końcowy | β | υ | Kąt paralaktyczny |
Argumenty wejściowe do tabeli ABC:
A → φA – rλ (argumenty dla α) – φB – rλ (argumenty dla β )
A → φB – rλ (argumenty dla α) – φA – rλ (argumenty dla β )
Argument wyjściowy z tabeli ABC:
C ← φA – α – φB – β
Oznaczenie ćwiartek:
Dotyczy kąta α
(C+) jednoimienne z φA
(C−) różnoimienne z φA
Dotyczy kąta β
(C+) różnoimienne z φB
(C−) jednoimienne z φB
Drugie znaki zależą od rλ.
Wierzchołek ortodromy
Wierzchołek ortodromy jest najwyżej położonym punktem, przez który przechodzi ortodroma. Znajomość jego jest potrzebna:
- By się przekonać czy ortodroma przechodzi przez obszary niebezpieczne dla żeglugi.
- W celu obliczenia współrzędnych punktów podziału ortodromy.
Celem obliczenia współrzędnych wierzchołka wykorzystuje się poprzednio obliczone kursy; początkowy i końcowy. Wierzchołek może leżeć między południkami punktu wyjścia i przeznaczenia lub poza jednym z nich, czyli na zewnątrz trójkąta. Wierzchołek leży wewnątrz trójkąta sferycznego jeżeli kąty α i β są kątami ostrymi.
cos φW = cos φA sin α
cos (90° − φA) = ctg rλW ctg α
sin φA = ctg rλW ctg α
ctg rλW = sin φA tg α
tg rλW = cosec φA ctg α
Wierzchołek leży poza jednym z nich (południków), jeżeli jeden z uzyskanych kątów jest większy od 90°. W tym wypadku leży on zawsze poza południkiem na, którym opiera się kąt większy niż 90°.
Ortodroma przecina południk wierzchołka pod kątem 90°. Południk wierzchołka tworzy wraz z pozostałymi bokami trójkąt prostokątny.
Do obliczenia pozostałych elementów możemy stosować regułę pięcioboku Nepera:
- Cosinus dowolnego elementu równy jest iloczynowi cotangensów elementów przyległych.
- Cosinus dowolnego elementu równa się iloczynowi sinusów elementów przeciwległych.
Znak φw jest znakiem bieguna widocznego, aby otrzymać długość wierzchołka musimy do długości punku A dodać z odpowiednim znakiem rλw.
Punkty podziału ortodromy
Współrzędne punktów podziału oblicza się z prostokątnego trójkąta sferycznego opartego na biegunie i wierzchołku ortodromy. Z trójkąta tego oblicza się szerokość dowolnie obranego punktu na ortodromie. Również z tego trójkąta możemy obliczyć kursy jakimi należy iść od punktu do punktu.
Danymi w tym trójkącie są:
φw i rλz (dowolnie obrana różnica długości)
cos rλz = tg φz ctg φW
tg φz = tg φW cos rλz
cos αz = sin rλz sin φW
Dla założonej rλz otrzymujemy φz punktu zwrotnego "Z".
- gdy wierzchołek leży na ortodromie, obliczane φz jest jednocześnie szerokością dla punktów; jednego leżącego na "E" (wschód) od wierzchołka, drugiego leżącego na "W" (zachód) od wierzchołka.
- gdy wierzchołek leży poza ortodromą obliczane φz odnosi się tylko dla jednego punktu zwrotnego.
obrana dowolnie
Ilość punktów podziału powinna być jak największa, gdyż zmniejsza się róznica między drogą po ortodromie, a poszczególnymi loksodromami. Po obliczeniu współrzędnych punktów podziału należy te punkty nanieść na mapę generalną lub arkusze zliczeniowe oraz połączyć loksodromami.
W rejonach gdzie są prądy, KDd należy obliczyć z uwzględnieniem prądów. Nanoszenie całkowitej ortodromy w praktyce jest w zasadzie zbyteczne. Potrzebna ona jest po to aby zorientować się czy przechodzimy przez obszary bezpieczne czy też nie. W praktyce nanosimy punkty zwrotne, łączymy je dopiero potem, jeżeli pozycja obserwowana nie odbiega daleko od obliczonej. Jeżeli odbiega nanosimy zazwyczaj nowe gałęzie ortodromy.
Kursy dla punktów podziału
Kursy dla punktów podziału ortodromy obliczamy według tabeli ABC.
| Argumenty wejścia dla poszczególnych tabel | |||||
| Tabela | α | α1 | α2 | β | |
| A | → | φA i rλ | φZ1 i rλZ1 | φZ2 i rλZ2 | φA i rλ |
| B | → | φB i rλ | φB i rλZ1 | φB i rλZ2 | φA i rλ |
| C | ← | φA i α | φZ1 i α1 | φZ2 i α2 | φB i β |
(C+) jednoimienna z φA — dla każdego α
(C−) różnoimienna z φA — dla każdego α
(C+) różnoimienna z φB — dla β
(C−) jednoimienna z φB — dla β
Drugi znak zależy od - rλ
