Astronawigacja

Astronawigacja komputerowa: Zliczanie drogi

Autorem opracowania jest kpt. ż.w. Waldemar Sadłoń.
Dziękuję za naukę i cierpliwość

41

Zliczanie matematyczne drogi znajdziemy na str.33. Obliczenia te bazują na podaniu odległości przebytej przez jednostkę, od pozycji do pozycji. Wielokrotnie to było omawiane, gdzie pokazano jak obliczyć PO bez konieczności wykreślania na mapie. Nawigator przy określaniu odległości między pozycjami bierze zawsze pod uwagę czas przejścia między pozycjami i szybkość jednostki z jaką pokonano dystans między tymi pozycjami.
Jeżeli te wielkości wprowadzimy do naszych wzorów to uzyskamy obliczenia, które ułatwią nam określenie PO. Nie musimy dodatkowo obliczać przebytą drogę lub zdejmować ją z mapy.
W praktyce mamy do czynienia zawsze z szybkością jednostki między pozycjami oraz czasem przejścia między tymi pozycjami.

Przypomnijmy: w astronawigacji na pozycji PZ₁ robimy I-szą obserwację, a po jakimś czasie na pozycji PZ₂ robimy 2-gą obserwację. Obie te pozycje są punktami wyjściowymi do dokonania obliczeń z naszych obserwacji i dlatego musimy znać ich wartości.
Aby z pozycji PZ₁ przypłynąć do pozycji PZ₂ musimy przejść przez pozycję PP₁. Jest to w zasadzie nawigacja "urojona", statek bowiem zawsze płynie po KDd i nie zbacza na pozycję PP₁.

Jak widzimy, między PZ₁ a PZ₂ mamy pozycję PP₁, którą musimy uwzględnić.
Wobec tego musimy zliczyć drogę od PZ₁ do PZ₂, ale poprzez PP₁ (pierwszy odcinek żeglugi), następnie z PZ₂ do PO (drugi odcinek żeglugi). Najlepiej przedstawi to nam rysunek.

Zgodnie z tym co powyżej napisaliśmy, łatwo zauważyć:
— Pierwszy etap to dwa odcinki połączone razem, a mianowicie [PZ₁ → PP₁] + [PP₁ → PZ₂]
— Drugi etap to odcinek [PZ₂ → PO]

Przedstawmy to wzorami:
Uwaga: wszystkie wartości obliczamy w stopniach dziesiętnych!

• Etap pierwszy
  
  Odcinek PZ₁ → PP₁
  rφ₁ = (Δh₁ ⁄ 60) cos ω₁
  φPP₁ = φPZ₁ + rφ₁
  φPP₁ = φPZ₁ + (Δh₁ ⁄ 60) cos ω₁
  φśr₁ = (φPZ₁ + φPP₁) ⁄ 2 = (φPZ₁ + φPZ₁ + (Δh₁ ⁄ 60) cos ω₁) ⁄ 2 = φPZ₁ + (Δh₁ ⁄ 120) cos ω₁
  rλ1 = (Δh₁ ⁄ 60) sin ω₁ sec φŚR₁
  λPP₁ = λPZ₁ + rλ₁
  λPP₁ = λPZ₁ + (Δh₁ ⁄ 60) sin ω₁ sec (φPZ₁ + (Δh₁ ⁄ 120) cos ω₁)
  
  Odcinek PP₁ → PZ₂
  φPZ₂ = φPP₁ + t (v ⁄ 60) cos KDd
  φPZ₂ = φPZ₁ + (Δh₁ ⁄ 60) cos ω₁ + t (v ⁄ 60) cos KDd
  φśr₂ = (φPZ₁ + (Δh₁ ⁄ 60) cos ω₁ + φPZ₂) ⁄ 2
  λPZ₂ = λPP₁ + t (v ⁄ 60) sin KDd sec φśr₂
  λPZ₂ = λPZ₁ + (Δh₁ ⁄ 60) sin ω₁ sec (φPZ₁ + (Δh₁ ⁄ 120) cos ω₁) + t (v ⁄ 60) sin KDd sec (φPZ₁ + (Δh₁ ⁄ 60) cos ω₁ + φPZ₂) ⁄ 2
  
  
• Etap drugi
  
  Odcinek PZ₂ → PO
  d₁ = (Δh₂ ⁄ 60) cosec (ω₂ − ω₁)
  rφ₃ = d₁ cos (ω₁ ± 90°) = (Δh₂ ⁄ 60) cosec (ω₂ − ω₁) cos (ω₁ ± 90°)
  φPO = φPZ₂ + rφ₃
  φśr₃ = (φPZ₂ + φPO) ⁄ 2
  rλ₃ = d₁ sin (ω₁ ± 90°) sec φśr₃
  λPO = λPZ₂ + rλ₃
  φPO = φPZ₂ + (Δh₂ ⁄ 60) cosec (ω₂ − ω₁) cos (ω₁ ± 90°)
  φśr₃ = (φPZ₂ + φPO) ⁄ 2
  rλ₃ = (Δh₂ ⁄ 60) cosec (ω₂ − ω₁) sin (ω₁ ± 90°) sec φśr₃
  λPO = λPZ₂ + (Δh₂ ⁄ 60) cosec (ω2 − ω₁) sin (ω₁ ± 90°) sec (φPZ₂ + φPO) ⁄ 2

Uwaga:
Jeżeli Δh₂ < 0 to ω₂ = ω₂ + 180 ; ω₂ = ω₂
Jeżeli Δh₂ = "+" to (ω₁ + 90°) ; (ω₁ − 90)

I to wszystko. Teraz trzeba to tylko zamienić na formuły w Excelu, a komputer sam policzy.

φpz₂ = φpz₁ + (Δh₁ ⁄ 60) ∗ cos (radiany (ω₁)) + t ∗ (v ⁄ 60) ∗ cos (radiany (KDd))

λpz₂ = λpz₁ + (Δh₁ ⁄ 60) ∗ sin (radiany (ω₁)) ∗ 1 ⁄ cos (radiany (φpz₁ + (Δh₁ ⁄ 120) ∗ cos (radiany (ω₁)))) + t ∗ (v ⁄ 60) ∗ sin (radiany (KDd)) ∗ 1 ⁄ cos (radiany ((φpz₁ + (Δh₁ ⁄ 60) ∗ cos (radiany (ω₁))) + φpz₂) ⁄ 2)

φpo = φpz₂ + (Δh₂ ⁄ 60 ∗ 1 ⁄ sin (radiany (jeżeli (Δh₂ < 0 ; (ω₂ + 180 − ω₁) ; (ω₂ − ω₁))) ∗ cos (radiany (jeżeli (Δh₂ > 0 ; (ω₁ + 90) ; (ω₁ − 90))))

λpo = λpz₂ + (Δh₂ ⁄ 60) ∗ 1 ⁄ sin (radiany (jeżeli (Δh₂ < 0 ; (ω₂ + 180 − ω₁) ; (ω₂ − ω₁)))) ∗ sin (radiany (jeżeli(Δh₂ > 0 ; (ω₁ + 90) ; (ω₁ − 90)))) ∗ 1 ⁄ cos (radiany ((φpz₂ + φpo) ⁄ 2))

Versinus

Funkcja trygonometryczna [semiwersus α] jest nam znana. Patrz str.24, gdzie mamy tą funkcję przedstawioną jako [sem gλ]. Jest to funkcja trygonometryczna połowy kąta.

Przedrostek "semi" w tym przypadku znaczy "pół", więc jest i kąt "cały". Wystarczy ostatnie wyrażenie pomnożyć przez 2 i otrzymamy [1 − cos α], i otrzymamy funkcję trygonometryczną "versus" czasami nazywaną "versinus" lub "sinus versus".
Bardzo rzadko stosowana, prawie zapomniana funkcja trygonometryczna, ale bardzo przydatna w Astronawigacji. Czym ona się charakteryzuje? Nie posiada wartości ujemnych i dlatego, podczas obliczeń nie trzeba zwracać uwagi na znaki przy obliczeniach, co jest częstym powodem pomyłek w obliczeniach. Oto wzór:

Podstawmy do wzoru wartości kąta: 000°; 090°; 180°; 270° i 360°
vers α = 1 − cos 000° = 1 − (1) = 0
vers α = 1 − cos 090° = 1 − (0) = 1
vers α = 1 − cos 180° = 1 − (−1) = 2
vers α = 1 − cos 270° = 1 − (0) = 1
vers α = 1 − cos 360° = 1 − (1) = 0

Dlatego warto ten wzór wykorzystać do obliczenia Δh i nie tylko. Δh obliczamy przy pomocy następującego wzoru:

Zz - odległość zenitalna wysokości zliczonej słońca
tλ - miejscowy kąt czasowy c.n. (słońca)
φ - szerokość PZ
δ - deklinacja c.n. (słońca)
z' - odległość zenitalna c.n. w momencie kulminacji (słońca) = (φ − δ)

• Po obliczeniu Zz, należy obliczyć Zs
• Zs obliczamy odejmując od 90º zmierzoną i poprawioną wysokość słońca z sekstantu
• Następnie obliczamy Δh ze wzoru:

I tutaj mamy ciekawą sytuację, od "gorszej" wartości odejmujemy "lepszą", gdzie dotychczas twierdziliśmy, że zawsze od "lepszej" odejmuje się "gorszą". Czy to błąd, czy to wyjątek? Ano popatrzmy.
Wiemy, że:
Δh = hs − hz
Ale hs = 90 − Zs oraz hz = 90° − Zz
Podstawmy do wzoru
Δh = (90° − Zs) − (90° − Zz)
Δh = 90° − Zs − 90° + Zz

Δh = Zz − Zs, więc wzór na Δh jest prawidłowy i jednocześnie jest wyjątkiem. Powyżej napisaliśmy, że "Dlatego warto ten wzór wykorzystać do obliczenia Δh i nie tylko". Jeżeli dokonujemy obserwacji słońca, które znajduje się w namiarze mniej więcej od 070° do 110° lub od 260° do 280°, czyli w pobliżu pierwszego wertykału, to możemy obliczyć z dużą dokładnością długość geograficzną PP, przekształcając znany nam wzór:

Do obliczeń posłuży nam znany przykład ze str.32 G

Przykład

Dnia 04.08.1996 LT = 08^h25^m ; log = 17,2(PZ₁) ; φ_PZ1 = 40°05'0 N; λ_PZ = 004°59'0 E ; KDd = 100° ; v = 2,5w ; a = 3m ; zmierzono wysokość słońca ho = 40°20'2 ; i = +1'8 ; ex = −0'2 ; Chr. = 08^h25^m30^s ; St.Chr. = −3^m30^s ; średnie warunki atmosferyczne.

W tym przykładzie obliczono PP₁ ; φPP₁ = 40°04,3 N ; λPP₁ = 005°03,2 E

A teraz obliczmy PP₁ przy pomocy powyższych wzorów.
Przenieśmy już obliczone dane ze str.32 G:

to = 303°59,4
tλ = 308°58,4 ; (gλ = 51°01,6 E);
δ = 17°07,6 N
z' = 22°57,4
hs = 40°33,5
ω = 102°
Δh = +3,3

A teraz obliczmy Δh przy pomocy dopiero co poznanego wzoru.

log vers tλ = 9,5694223
log cos φPZ₁ = 9,8837232
(+)  log cos δ = 9,9803016

---

log vers x = 9,4334471

vers x = 0,27129830
(+)  vers z' = 0,07919980

---

vers Zz = 0,35049810
Zz = 49°29,8

Zs = 90° − hs = 90° − 40°33,5 = 49°26,5
Δh = Zz − Zs = 49°29,8 − 49°26,5 = +3,3

Obliczyliśmy Δh.

Kolej na obliczenie λPP₁

vers Zs = 0,3497781
(−)  vers z' = 0,0791998

---

Vers (Zz − z') = 0,2705783

cos φPZ₁ = 0,7651087
(∗)  cos δ = 0,9556560

---

(cos φ ∗ cos δ) = 0,7311807
vers tλ = 0,3700566
tλ = 309°02,8

λ = tλ − to = 309°02,8 − 303°59,4 = +5°03,3
rφPP₁ = Δh cos ω = +3,3 ∗ (−0,2079116 ) = −0,7
φPP₁ = +40°05'0 + (−0,7) = +40°04,3

Wynik końcowy to:
φPP₁ = 40°04,3 N   →   obliczony na str.32    φPP₁ = 40°04,3 N
λPP₁ = 005°03,3 E  →  obliczony na str.32    λPP₁ = 005°03,2 E

Możemy śmiało powiedzieć, że wyniki są identyczne.

Wzory na obliczenie wysokości zliczonej słońca (h_z)

1. Wysokość zliczona słońca:

• sem (x) = sem (tλ) ∗ cos (φ) ∗ cos (δ) ∗ sec (z')
  sin (h) = cos (z') ∗ cos (x)
  h =
• sem (x) = sem (tλ) ∗ cos (φ) ∗ cos (δ)
  sem (z) = sem (x) ∗ sem (z')
  z =
  h = (90° − z)
• sin (h) = sin (φ) ∗ sin (δ) + cos (φ) ∗ cos (δ) ∗ cos (tλ)
  h =

Wzory mieszane, na h_z oraz Azymut

1. Wzory na wysokość zliczoną i azymut.

Wyrażenie (x ∼ φ) oznacza, że od większej wartości odejmujemy mniejszą

Azymut

Jest bardzo dużo wzorów na obliczenie Azymutu. Wzory, mimo, że dają ten sam wynik jednak różnią się sposobem obliczanie. Są wzory bardzo proste, ale i trochę skomplikowane. Ciekawostką jest, że im bardziej prosty wzór tym więcej ma uwarunkowań. Wiemy jak obliczać Azymut przy pomocy TN (tablice ABC). Rozpatrzmy inne wzory:

• cos ω = (sin δ − sin h_z ∗ sin φ) ∗ (sec h_z ∗ sec φ)
  wzór podaje Azymut w systemie pełnym (okrężnym).
  Warunek:
  Jeżeli (LHA <= 180°) to (ω = 360° − ω); (ω = ω)
  
  
• sin ω = cos δ ∗ sec h_z ∗ sin tλ
  wzór podaje Azymut w systemie ćwiartkowym.
  Warunek:
  Tabela
  Za mała rozdzielczość ekranu by prawidłowo wyświetlić tabelę
  Odwróć ekran lub skorzystaj z większego urządzenia

  Oznaczenie δ	Wielkość δ	Wielkość hz	I-sza litera azymutu
  Równoimienne z φ	Nie ma znaczenia		Równoimienne z φ
  Równoimienne z φ	δ < φ	hz > hv	Równoimienne z φ
  Różnoimienna z φ	δ < φ	hz < hv	Różnoimienna z φ
  Różnoimienna z φ	δ > φ	Nie ma znaczenia	Różnoimienna z φ

  Dodatkowo musimy obliczyć, niestety.
  h_v = sin δ ∗ cosec φ
  
  
• tan ω = (tan tλ ∗ sec (90° + (x − φ))) ∗ cos x
  wzór podaje Azymut w systemie ćwiartkowym.
  Warunek:
  a) tan x = tan δ ∗ sec tλ (dodatkowo musimy obliczyć),
  b) wartość x jest zawsze równoimienna z δ
  c) jeżeli tλ > 90° to również x > 90°
  d) pierwszy wskaźnik jest równoimienny z φ tylko w tym wypadku gdy x i φ są równoimienne przy równoczesnym x > φ. We wszystkich innych przypadkach jest różnoimienny z φ.
  
  
• tan Z = (−sin tλ) ⁄ (tan δ ∗ cos φ − sin φ ∗ cos tλ)
  wzór podaje Azymut w systemie pełnym (okrężnym).
  Zaleca się używać go przy obliczaniu całkowitej poprawki.
  Warunek:
  

  tλ	Z > 0	Z < 0
  000° − 180°	ω = 180° + Z	ω = 360° + Z
  180° − 360°	ω = Z	ω = 180° + Z

  
  Po przeanalizowaniu wszystkich wzorów, stwierdzamy, że najlepszym wzorem do obliczenia Azymutu jest wzór w pkt.1. Ma najmniej obwarowań i wyrażony jest w systemie okrężnym, czyli dodatkowe obliczenia są zupełnie zbyteczne.