Astronawigacja

Astronawigacja praktyczna: Gwiazdy i Planety

Autorem opracowania jest kpt. ż.w. Waldemar Sadłoń.
Dziękuję za naukę i cierpliwość

36

Na samym początku wspomnieliśmy, że gołym okiem widzimy około 6000 gwiazd. To bardzo dużo, niestety, ze względu na jasność poszczególnych gwiazd, do obserwacji nadaje się około 60 gwiazd plus cztery planety, które w kształcie są trudne do odróżnienia od gwiazd. Mimo to, ta ilość w zupełności wystarczy.

Początkującym nawigatorom, dopóki nie opanują do perfekcji określanie pozycji ze słońca i księżyca, raczej odradzam określanie pozycji z gwiazd. Fakt, że z obserwacji gwiazd otrzymujemy trzy Alp (czyli mały trójkącik, jak przy namiarach na trzy obiekty lądowe), które dają nam od razu pozycję obserwowaną, co jest bardzo wygodne. Przekonamy się, że to nie takie łatwe, przede wszystkim w praktyce.

Jednakże, astronawigacja bez pozycji z gwiazd byłaby niepełna, ułomna, więc musimy pokazać początkującym, jak określić pozycję z gwiazd. Na czym polegają te trudności, omówimy w każdym punkcie oddzielnie.
Oto one:

• Uchwycenie (określenie) momentu, w którym można obserwować gwiazdy do określenia pozycji.
• Identyfikacja gwiazdy (planety).
• Prawidłowe określenie pozycji (PO).
• Obliczenie, określenie (PO).

• • •

Ad.1 Uchwycenie (określenie) momentu,
w którym można obserwować gwiazdy do określenia pozycji,
czyli obliczanie wschodu i zachodu gwiazd.

Aby zmierzyć wysokość gwiazdy (planety) muszą zaistnieć następujące warunki; musi być widoczny widnokrąg i gwiazda.

• W dzień widzimy widnokrąg (TAK), gwiazdy (NIE).
• Podczas wschodu oraz zachodu widzimy widnokrąg (TAK), gwiazdy (TAK).
• Nocą widzimy widnokrąg (NIE), gwiazdy (TAK).

Jak widzimy, tylko punkt "b" bierzemy pod uwagę, bo spełnia warunki do obserwacji gwiazdy (planety).
Każdy wie, jak długo trwa dzień i noc, gorzej ze świtem (brzaskiem) i ze zmierzchem. Tu napotkamy trochę trudności. Zarówno brzask jak i zmierzch trwa w jakimś przedziale czasu podczas wschodu lub zachodu, ale nam jest potrzebny ten przedział czasu, w którym widać, i widnokrąg, i gwiazdy. A to dlatego, że: po nocy, kiedy zaczyna się brzask widzimy gwiazdy -to pewne. Natomiast widnokrąg wyłania się nieco później. Brzask trwa i w pewnym momencie widzimy, i widnokrąg, i gwiazdy a po chwili już tylko widnokrąg bo gwiazdy bardzo szybko "blakną" nadchodzi moment, a już ich nie widać. Robi się coraz jaśniej i wschodzi słońce. To samo widzimy o zmierzchu, tyle tylko, że tutaj występuje to w odwrotnej kolejności.

Podstawowe pytanie: jak obliczyć (stwierdzić) moment kiedy widać, i widnokrąg i gwiazdy?
Są dwa sposoby obliczenia (stwierdzenia) interesującego nas momentu:

• Przez obserwację. Po prostu przed świtem lub zmierzchem obserwujemy niebo aż do skutku czyli do momentu, kiedy to zobaczymy, i gwiazdy, i widnokrąg. Jest to metoda bardzo skuteczna ale uciążliwa i męcząca.
• Odczytujemy z tabel umieszczonych w Almanachu na każdy dzień roku. W ten sposób wiemy kiedy przygotować się i przystąpić do obserwacji.

Opis korzystania z tabel.

Zacznijmy od opisu tabel, w szczególności rubryk dot. słońca bo to ono dyktuje nam kiedy gwiazdy i widnokrąg widać a kiedy nie.
Tabela (wschodu i zachodu) składa się z ośmiu kolumn:

Tabela wschodów, brzasków

• Dotyczy szerokości geograficznej (φ).
• Dotyczy momentu brzasku nautycznego(moment, w którym widnokrąg już jest widoczny, gwiazdy również).
• Dotyczy momentu brzasku cywilnego (moment, w którym gwiazdy zanikają, pozostaje widoczny tylko widnokrąg).
• Dotyczy widocznego wschodu słońca (to już jasny dzień).
• Dotyczy widocznego wschodu księżyca (dnia 18 maja).
• Dotyczy widocznego wschodu księżyca (dnia 19 maja).
• Dotyczy widocznego wschodu księżyca (dnia 20 maja).
• Dotyczy widocznego wschodu księżyca (dnia 21 maja).

Kolumny 5, 6, 7, i 8 nie interesują nas. Wschodem i zachodem księżyca interesują się nawigatorzy okrętów wojennych dla celów taktycznych.

Podstawowym i jedynym argumentem wejściowym jest szerokość (φ), no i data.
Wartość szerokości geograficznej (φ) pozwala nam odczytać wszystkie interesujące nas momenty wschodów i zachodów słońca. Wszystkie momenty odnoszą się do czasu w Greenwich (GMT) czyli do południka zerowego.

Oprócz w/w momentów w tabeli możemy znaleźć takie oto znaczki:

Słońce 24h nad widnokręgiem. Polarny dzień.
Słońce 24h pod widnokręgiem. Polarna noc.
////   Brzask jest jednocześnie zmierzchem, trwa 24h. Gwiazdy mogą być niewidoczne (za jasno) lub widoczne przez 24h w zależności od warunków atmosferycznych jak i natężenia światła.

Mogą być i inne oznaczenia, zamiast w/w znaczków. Zależy to od wydawcy Almanacha. Możemy spotkać:
S.A.H.  Sun above horizon; Słońce 24h nad widnokręgiem.
S.B.H.  Sun below horizon; Słońce 24h pod widnokręgiem.
T.A.N.  Twilight all night; Brzask lub zmierzch trwający 24h.

Tabela zachodów, zmierzchów

Jest ona identyczna jak tabela wschodów z tym, że kolumny dot. słońca umieszczone są odwrotnie. Najpierw jest widoczny zachód, później zmierzch cywilny (zaczynają się ukazywać gwiazdy) i w końcu nautyczny (znika widnokrąg).

Opis wschodu i zachodu słońca

Przy omawianiu Amplitudy wschodu i zachodu słońca była wzmianka o astronomicznym i widocznym wschodzie słońca. Nadszedł czas dokładniej to wyjaśnić.

• Moment, w którym środek ciała astronomicznego (słońca, księżyca) znajdzie się na widnokręgu horyzontu astronomicznego (wysokość c.n. wynosi wówczas hs = 0°) nazywamy prawdziwym (astronomicznym) wschodem lub zachodem.
• Natomiast, kiedy górna krawędź słońca lub księżyca ukazuje się lub znika za widnokręgiem nazywamy widocznym wschodem lub zachodem ciała niebieskiego (wysokość górnej krawędzi c.n. wynosi wówczas ho = 0°).

Po nocy nie następuje nagle dzień tak samo jak po dniu nie następuje nagle noc. Jest jeszcze stan przejściowy czyli świt (brzask) lub zmierzch. Oba te momenty są bardzo ważne, kiedy chcemy określić pozycję z gwiazd.
W astronawigacji rozróżniamy trzy brzaski i zmierzchy słońca:

1. Astronomiczny, kiedy środek tarczy słońca znajduje się poniżej widnokręgu obserwatora i przebywa drogę (od −18° do −12°). Nie ma znaczenia dla nawigatora, nie widać widnokręgu.
2. Nautyczny (nawigacyjny), kiedy środek tarczy słońca znajduje się poniżej widnokręgu obserwatora i przebywa drogę (od −12° do −6°). Jest to najważniejszy czas dla nawigatora, wówczas widać i gwiazdy i widnokrąg.
3. Cywilny, kiedy środek tarczy słońca znajduje się poniżej widnokręgu obserwatora i przebywa drogę (od −6° do widocznego wschodu słońca czyli stykiem górnej krawędzi słońca z widnokręgiem). Gwiazdy znikają. To już dzień. To samo dotyczy zachodu słońca, z tym, że tutaj słońce przebywa drogę (od widnokręgu do −6°).

Przedstawmy to samo ale nieco w innej formie.

Rysunek przedstawia momenty brzasków i zmierzchów dnia 25.05.1961 na szerokości φ = 54°N
Z rysunku łatwo można wywnioskować, że:

• W tym dniu o godz. 01h44m (GMT na południku zerowym) o brzasku będą po nocy widoczne gwiazdy ale już zarysowuje się linia widnokręgu i można przeprowadzić obserwację gwiazd.
• Ten stan rzeczy będzie trwał do godz. 02h57m, wówczas gwiazdy zanikną. Nie mamy szans na określenie pozycji z gwiazd.
• Drugi moment, kiedy możemy określić pozycję z gwiazd nastąpi o godz. 20h57m, kiedy to gwiazdy zaczną się ukazywać.
• Będzie to trwało do zniknięcia widnokręgu czyli do godz. 22h12m.

Oczywiście wszystkie momenty czasów odnoszą się do południka Greenwich. Wobec tego musimy te momenty poprawić o długość (λ).
Dla lepszego zrozumienia popatrzmy na rysunek przedstawiający pełny "obieg" słońca na niebie. Dotyczy dnia 16.07.1965 oraz φ = 35°N

Podsumujmy:

• brzask zaczyna się kiedy słońce znajduje się 18° poniżej widnokręgu
• zmrok zaczyna się kiedy słońce znajduje się 6° poniżej widnokręgu
• natężenie światła podczas brzasku oraz zmroku zależy od położenia słońca względem widnokręgu
• brzask w momencie kiedy słońce przebywa drogę (od −18° do −12°) jest za ciemny aby zobaczyć widnokrąg. Jest to brzask (świt) astronomiczny
• brzask w momencie kiedy słońce przebywa drogę (od −12° do −6°) jest najlepszym momentem do obserwacji gwiazd, gdyż wówczas widać, i widnokrąg, i gwiazdy. Jest to brzask lub zmierzch nautyczny (nawigacyjny)
• brzask w momencie kiedy słońce znajduje się na wysokości większej niż (−6°) to praktycznie dzień. Natężenie światła jest tak duże, że wszystkie gwiazdy znikają i nie ma możliwości zrobienia pozycji z gwiazd.
• o zmierzchu sytuacja jest identyczna, tylko w odwrotnej kolejności, tutaj zmierzch następuje po zachodzie słońca.
  Mamy tutaj do czynienia z brzaskiem lub zmierzchem cywilnym.

Ad.2 Identyfikacja gwiazdy (planety).

Od tego zaczynaliśmy astronawigację. Podobno gołym okiem widzimy około 6000 gwiazd. Jedne duże i jasne, inne małe i mniej jasne. W astronawigacji bierzemy pod uwagę gwiazdy duże i jasne, dobrze widoczne, a tych dla celów praktycznych (do określenia Alp) jest około 60. Ale to i tak dużo, aby je wszystkie znać z nazwy. Wielu doświadczonych nawigatorów ma trudności rozpoznać je na niebie a co dopiero początkujący nawigatorzy, szczególnie gdy niebo częściowo jest zachmurzone. To nie jest żadna ujma, ważne jest aby umieć zidentyfikować gwiazdę (planetę) - to jest warunek prawidłowych obliczeń i określenia pozycji.

W tej tabeli interesują nas dwie kolumny: "Dec". i "SHA" czyli deklinacja gwiazdy i gwiazdowy kąt czasowy. Obie te wielkości musimy obliczyć. Są one argumentami wejściowymi do tabeli "Spis alfabetyczny gwiazd", gdzie znajdziemy nazwę gwiazdy.
Obliczone wielkości mogą różnić się od wielkości tablicowych, jednakże różnice te nie wpłyną na wynik czyli pomyłkę przy identyfikacji gwiazdy (planety).
Do celów identyfikacji gwiazdy (planety) posługujemy się Tablicami ABC.
Procedura obliczenia - [t* czyli (SHA)] oraz - [δ] gwiazdy (planety) jest następująca:

——— t* ,   (SHA)

• NR (azymut) na ciało niebieskie zapisujemy w trzech systemach, pełnym - połówkowym (od widocznego bieguna) - ćwiartkowym.
• Azymut w systemie połówkowym (ω₂) wyrażamy w jednostkach czasowych w systemie liczenia od widocznego bieguna.
• Tym azymutem jako kątem godzinnym oraz szerokością wchodzimy do Tabeli A, odczytujemy i wypisujemy odpowiednią wartość A. Odczytaną wartość A poprzedzamy znakiem (+) jeżeli azymut leży w ćwiartce (ω₄) niewidocznego bieguna, lub znakiem (−), jeżeli azymut leży w ćwiartce widocznego bieguna.
• Tym samym azymutem, jako kątem godzinnym oraz wysokością zamiast deklinacji, wchodzimy do Tabeli B. Odczytana wartość B ma zawsze znak (+).
• Sumujemy algebraicznie obie wartości (A + B) i otrzymujemy wartość C.
• Wartością C oraz szerokością wchodzimy do Tabeli C i odczytujemy kąt godzinny zamiast azymutu. Odczytany kąt godzinny wyrażony jest w jednostkach kątowych.
• Odczytany kąt godzinny zamieniamy na miejscowy kąt godzinny (pamiętając o wskaźniku E lub W, a to podpowie nam azymut w systemie połówkowym) a następnie zamieniamy na miejscowy kąt czasowy. Jeżeli w wyniku sumowania wartość C poprzedzona została znakiem (+) to wyszukana wartość jest prawidłowa (to znaczy nie zmieniamy jej wartości), natomiast jeżeli jest poprzedzona znakiem (−) wówczas wyszukaną wartość odejmujemy od 180°.

——— δ

• Wchodzimy do Tabeli C azymutem (ω_¼ → azymut w systemie ćwiartkowym) i szerokością, wypisując wartość C. Przy wartości C wstawiamy znak (+) jeżeli azymut leży w ćwiartce widocznego bieguna, i znak (−) jeżeli azymut leży w ćwiartce niewidocznego bieguna.
• W Tabeli A znajdujemy wartość A wchodząc poprzednio obliczonym kątem godzinnym oraz szerokością. Wartość A ma znak (+) jeżeli kąt godzinny >6h, znak (−) jeżeli kąt godzinny <6h.
• Odejmujemy algebraicznie C od A.
• Otrzymujemy wartość B. Z Tabeli B odczytujemy δ. Argumentami wejściowymi są: obliczona wartość B oraz kąt godzinny, również uprzednio obliczony. Jeżeli wartość B ma znak (+) deklinacja jest równoimienna z szerokością, gdy ma znak (−) deklinacja jest różnoimienna z szerokością.

I to wszystko.
Aby przyswoić sobie to co przed chwilą napisaliśmy posłużmy się przykładem:

Za mała rozdzielczość ekranu.
Z uwagi na przejrzystość przykładu, proszę odwrócić ekran na poziomo, lub skorzystać z urządzenia o większym ekranie.

Przykład

Dnia 19.05.1996 na pozycji φ = 45°N ; λ = 40°W o godz. 23^h30^m52^s GMT, zaobserwowano gwiazdę (planetę ?), h* = 27°09'6 ; NR = 061°.
Jaka to gwiazda (planeta)?

—— Obliczamy t* ,  czyli SHA

1. Zapisujemy NR (azymut) = 061° w trzech systemach:
ω = 061° ω_½ = N061°E ω_¼ = N61°E

2. Azymut ω_½ = N061°E wyrażamy w jednostkach czasowych, czyli ω_½ = N061°E = 04h04m (E).
Wskaźnik (E) wpisano jako ułatwienie określenia właściwego kąta godzinnego.

3. Obliczamy gwiazdowy kąt czasowy (t*)
Wartość A i B wchodząc azymutem (04h04m) i wysokością

A = −0,55
(+) B = +0,58

---

C = +0,03

gλ = 88°5 E
miejscowy kąt godziny zamieniamy na tλ
tλ = 271°30'0

Znak zapytania (?) określa nam niedokładność λ,
co powoduje w obliczeniach niedokładność między
obliczonymi wartościami a odczytanymi wartościami z Almanacha

tλ = 271°30'0
(−) λ? = −040°00'0

---

kąt czasowy w Greenwich, GHA    to = 311°30'0
odczyt z Almanacha. GHA dla    (−) to = 230°37'0

---

t* = 080°53'0

—— Obliczamy δ

1. Obliczamy wartość C.

azymutem (ω_¼) i szerokością    C = +0,78
wchodząc obl. kątem godz. 80°53' (05^h54^m) i φ    (−) A = −0,03

---

B = +0,81
δ = N 39°

	t*	δ
Wartość obliczona	080°53'0	N 39°00'0
Wartość odczytana z Almanacha	080°47'4	N 38°46'8

Obserwowana gwiazda to WEGA.

Ad.3 Prawidłowe określenie pozycji (PO).

Tutaj zaczniemy od przypomnienia geometrii. Zajmiemy się trójkątem w powiązaniu z okręgiem. Jak wiemy do trójkąta możemy "dokleić" pięć okręgów:

• Możemy okrąg wpisać w trójkąt.
• Możemy okrąg opisać na trójkącie.
• Możemy trzy okręgi umieścić na zewnątrz trójkąta przy czym każdy z okręgów jest styczny do każdego boku trójkąta - są to tzw. okręgi "zapisane" na trójkącie.

Oczywiście, każdy okrąg ma swój środek. Pytanie jak go znaleźć?
Na jachcie rzadko mamy do czynienia ze zwykłym szkolnym cyrklem a i obliczanie promienia takiego okręgu mija się z celem. Natomiast ekierki (trójkąty nawigacyjne) zawsze są pod ręką i to one są bardzo pomocne do określenia środka interesującego nas okręgu. Ten środek to nic innego jak nasza PO. Popatrzmy na rysunki.

Wystarczy przy pomocy ekierek przesunąć równolegle boki trójkąta o jednakową odległość następnie odpowiednie wierzchołki obu trójkątów połączyć linią. Miejsce przecięcia się tych linii to środek okręgu czyli nasza PO.

Uwaga:

• jeżeli trójkąt jest równoboczny PO znajduje się w środku trójkąta.
• jeżeli trójkąt nie jest równoboczny PO znajduje się na zewnątrz trójkąta.

Jak to wygląda w astronawigacji. Trójkąt równoboczny uważa się za taki gdzie azymuty na gwiazdy różnią się o 120° ± 15°. Jakikolwiek inny rozkład azymutów daje nam trójkąt nierównoboczny.

Przejdźmy do astronawigacji. Popatrzmy na rysunek.

PO określiliśmy z trzech gwiazd (1), (2) i (3). Aby określić PO z trzech gwiazd musimy obliczyć azymut (ω) i Δh na każdą gwiazdę, i tak: przykładowo.

Gwiazda (1) - ω = 030° ; Δh = +3'0
Gwiazda (2) - ω = 090° ; Δh = +4'0
Gwiazda (3) - ω = 150° ; Δh = +2'0

Po wykreśleniu na mapie obliczonych elementów otrzymaliśmy mały trójkąt (żółty). Tym samym otrzymaliśmy cztery pozycje: jedna w środku trójkąta (środek koła wpisanego w trójkąt) i trzy na zewnątrz trójkąta, pozycje zawpisane, które to są środkami kół stycznych do boków trójkąta.
Pytanie, która jest tą prawdziwą pozycją?
W astronawigacji robimy tak samo jak w geometrii z tym, że:

• Wszystkie Alp przesuwamy o tą samą, jednakowej wartości wielkość (np. 2,0 Mm) w kierunku gwiazdy albo w kierunku przeciwnym "od" gwiazdy.
• Otrzymamy drugi trójkąt (niebieski).
• Łączymy odpowiednie wierzchołki prostymi, które przetną się w jednym punkcie.
• To nasza PO.

Ad.4 Obliczenie, określenie (PO) z gwiazd.

Nie pozostało nam nic innego, jak określić PO z trzech gwiazd. Oczywiście to nie jest reguła, taką pozycję można określić również z dwóch gwiazd i planety oraz innych kombinacji nie wyłączając księżyca. Księżyc nocą rozświetla nam widnokrąg a więc jest pomocny ale to już jest "wyższa szkoła jazdy". W tym wypadku nawigator musi mieć przeogromne doświadczenie. Na takim widnokręgu łatwo się "pośliznąć".

Przejdźmy do przykładu:
UWAGA: Korzystając z jakichkolwiek tablic zaleca się możliwie dokładną interpolację przy odczytywaniu wartości tablicowych.

Za mała rozdzielczość ekranu.
Z uwagi na przejrzystość przykładu, proszę odwrócić ekran na poziomo, lub skorzystać z urządzenia o większym ekranie.

Przykład

Dnia 19.05.1996 podjęto decyzję określenia PO z gwiazd. Jacht znajdował się na PZ; φ = 44°53'0 N ; λ = 040°10'0 W. Była godzina 18:00 LT (Strefa czasowa +3). KDd = 045° ; v = 5,0w ; odczyt logu 56,3.

1.  Obliczamy GMT.
LT + (nr. strefy) = GMT
18^h00^m + (+3) = 21^h00^m
W momencie podjęcia decyzji o określeniu PO w Greenwich była godz. 21^h00^m, taki sam czas wskazuje chronometr na jachcie.
W zasadzie w astronawigacji nie operujemy LT (czasem statkowym, lokalnym) a GMT, który odczytujemy z chronometru. Operując li-tylko GMT unikniemy pomyłek przy obliczeniach.

2.  Obliczamy czas trwania zmierzchu nautycznego.
Z Almanacha odczytujemy pod datą 19.05.1996, dla φ = 45°00'0 N.
— moment zmierzchu cywilnego   20^h02^m
— moment zmierzchu nautycznego   20^h47^m

3.  Kolej na uwzględnienie (λ)
Biorąc pod uwagę KDd i v jachtu, jacht będzie po dwóch godzinach na λ = 040°00'0 W.
(λ) zamieniamy na jednostki czasowe; λ = 040°00'0 W = (−)02^h40^m
Obliczamy zmierzch na naszym południku:
Zmierzch cywilny   20^h02^m −(−02^h40^m) = 22^h42^m
Zmierzch nautyczny   20^h47^m −(−02^h40^m) = 23^h27^m

4.  Obliczyliśmy, że na λ = 040°00'0 W, miedzy 22^h42^m a 23^h27^m GMT, możemy przeprowadzić obserwację gwiazd i określić PO, co też uczyniono.

5.  Wyniki obserwacji:
Dnia 19.05.1996 na PZ φ = 45°00'0 N ; λ = 040°00'0 W;
GMT = 22^h50^m10^s; obserwowano gwiazdy:
Gwiazda (1) … NR = 122° ; h* = 52°16'0
Gwiazda (2) … NR = 056° ; h* = 21°18'1
Gwiazda (3) … NR = 156° ; h* = 30°54'5
KDd = 045° ; v = 5,0w ; log = 66,3 ; a = 3,0m ; i = 0'0 ; ex = 0'0 ; średnie warunki atmosferyczne.
UWAGA: używając do obliczeń jakiekolwiek tablice należy bardzo dokładnie interpolować odczyty wartości tablicowych.

6.  Aby dokładnie określić PO musimy znać, które gwiazdy obserwowaliśmy. Zatem kolej na identyfikację. Zróbmy to w formie tabeli do, której wypiszemy nasze oraz odczytane dane:

	Gwiazda (1)	Gwiazda (2)	Gwiazda (3)
Poprawiamy zmierzoną wysokość gwiazdy
h* = i = (+) ex =	52°16'0 0'0 0'0	21°18'1 0'0 0'0	30°54'5 0'0 0'0
h* = (+) op =	52°16'0 − 3'9	21°18'1 - 5'7	30°54'5 − 4'8
hs =	52°12'1	21°12'4	30°49'7
Przeliczamy azymut na system: połówkowy i ćwiartkowy
NR (ω)	122°	056°	156°
połówkowy (ω2) =	N122°E	N056°E	N156°E
połówkowy (ω2) =	08h08m	03h44m	10h24m
ćwiartkowy (ω4) =	S58°E	N56°E	S24°E
Obliczamy gwiazdowy kąt czasowy - SHA
A = (+) B =	+0,62 +1,51	−0,67 +0,46	+2,19 +1,48
C =	+2,13	−0,21	+3,67
gλ =	33°30'0E	98°30'0E	21°00'0E
tλ = (−) λ =	326°30'0 −40°00'0	261°30'0 −40°00'0	339°00'0 −40°00'0
to* = (−) to =	366°30'0 220°25'4	301°30'0 220°25'4	379°00'0 220°25'4
t* =	146°04'6	81°04'6	158°04'6
Obliczamy deklinację δ
C = (−) A =	−0,88 −1,51	+0,92 +0,15	−3,18 −2,61
B =	+0,61	+0,77	−0,57
δ	N 19	N 38°	S 11°
Wartościami SHA i δ wchodzimy do Almanacha i odczytujemy
Obliczone	146°04'6 N 19°	81°04'6 N 38°	158°04'6 S 11°
Odczytane	146°07'2 N 19°12'1	80°47'4 N 38°46'8	158°44'6 S 11°08'6
Gwiazdy	Arcturus	Vega	Spica

7.  Gwiazdy zostały zidentyfikowane. Z Almanacha odczytujemy dokładne dane i przystępujemy do obliczania elementów, które pozwolą nam określić Alp.

8.  Budujemy następną tabelę: oczywiście, do tej tabeli przepiszemy wyszukane efemerydy z Almanacha, dużo dokładniejsze.

Odczyt z Almanacha
	Arcturus	Vega	Spica
δ =	N 19°12'1	N 38°46'8	S 11°08'6
t* = (+) to =	146°07'2 220°25'4	80°47'4 220°25'4	158°44'6 220°25'4
to* = (+) λ =	366°32'6 −40°00'0	301°32'8 −40°00'0	379°10'0 −40°00'0
tλ* =	326°32'6	261°32'8	339°10'0
Zamieniamy na gλ*
gλ* =	33°27'4 E	98°27'2 E	20°50'0 E
gλ* =	02h14m E	06h34m E	01h24m E
φ = (−) δ =	+45°00'0 +19°12'1	+45°00'0 +38°46'8	+45°00'0 −11°08'6
z' =	+25°47'9	+6°13'2	+56°08'6
Obliczamy hz
log sem gλ = log cos φ = log cos δ = (+) log sec z' =	8,91829 9,84948 9,97514 0,04560	9,75853 9,84948 9,89185 0,00256	8,51442 9,84948 9,99173 0,25406
log sem x =	8,78851	9,50242	8,60969
log cos x = (+) log cos z' =	9,94305 9,95440	9,56115 9,99744	9,96313 9,74595
log sin hz =	9,89745	9,55859	9,70908
hz =	52°09'2	21°13'1	30°47'0
hs = (−) hz =	52°12'1 52°09'2	21°12'4 21°13'1	30°49'7 30°47'0
Δh =	+2'9	−0'7	+2'7
Obliczamy ω
A = (+) B =	−1,51 +0,62	+0,15 +0,82	−2,61 −0,54
C =	−0,89	+0,97	−3,15
ω4 =	S58°E	N55°5E	S24°E
ω =	122°	055°5	156°

9.  Na mapę i wykreślamy PO.