Astronawigacja

Astronawigacja praktyczna: Słońce – obliczanie linii pozycyjnej metodą szerokościową

Autorem opracowania jest kpt. ż.w. Waldemar Sadłoń
Dziękuję za naukę i cierpliwość

29

Wróćmy na moment do ogólnej poprawki "op".
W rozdziale ASTRONAWIGACJA KALSYCZNA: Określanie wysokości c.n. z sekstantu - poprawki na str.23 nie została objaśniona jedna z poprawek pozainstrumentalnych [R], właśnie przyszedł czas by to wyjaśnić.

Ciała niebieskie mają swoje kształty, to oczywiste. Są to ciała kuliste, ale z ziemi widzimy je trochę inaczej. Słońce i księżyc widzimy jako "krążki", mówiąc, że widzimy "tarczę słoneczną" lub "tarczę księżyca". Czy to krążek, czy tarcza - musi tutaj być średnica tarczy, a jak średnica to i promień. Jak wiemy wysokość słońca mierzymy od środka tarczy do widnokręgu a więc musimy w obliczeniach uwzględnić promień słońca (R).
Do [π] wrócimy przy omówieniu poprawiania wysokości księżyca.

Poprawka na wielkość promienia ciała niebieskiego [±R]

Jest to trzecia poprawka nieinstrumentalna. Odnosi się tylko do słońca i księżyca, ponieważ oba te ciała niebieskie widać na kuli niebieskiej w kształcie krążka. Wartości promienia na każdy dzień znajdziemy w Almanachu. Wysokość obu tych ciał niebieskich możemy mierzyć od dolnej krawędzi jak i od górnej krawędzi, więc wiadomo kiedy dodajemy a kiedy odejmujemy wartość promienia.

Ze wzoru wynika, że (R) jest składnikiem "op". Zamiast sumować wszystkie składniki we wzorze na "op", na dodatek zwracać uwagę na ich znaki, wygodne jest używanie gotowej tabelki "op".

A. Obliczanie linii pozycyjnej metodą szerokościową

1. Obliczanie momentu górnej kulminacji na południku miejscowym

Metoda nagminnie stosowana.
Obliczanie linii pozycyjnej metodą szerokościową ma zastosowanie jedynie w momencie kulminacji słońca. W momencie kulminacji azymut słońca jest N lub S, a to znaczy, że kierunek Alp jest E ⇔ W (jest równoleżnikiem). Obserwacja w rezultacie daje nam szerokość geograficzną.

Wszystkie wierzchołki trójkąta biegunowego leżą na jednej linii - na południku widocznym. Kąty sferyczne wynoszą 000° lub 180°. Zależność między bokami trójkąta widzimy na rys.30 i rys.30a.
Każde ciało niebieskie, również słońce, kulminuje bez przerwy, całą dobę. Problem w tym, że za każdym razem (co sekundę) na innym południku. Nas, natomiast interesuje południk na którym faktycznie jesteśmy (nasz, miejscowy południk, południk PZ), bo to tutaj mamy obliczyć naszą szerokość geograficzną.
Więc nie pozostaje nam nic innego jak konieczność obliczenia momentu, w którym słońce będzie kulminować na naszym południku.
Są dwa sposoby obliczenia momentu kulminacji słońca:

Pierwszy sposób.
Na naszej półkuli (północnej) słońce kulminuje w azymucie S, to każdy wie, wobec tego:

• gλ = 00^h00^m00^s (odnosi się to do południka obserwatora, a więc na naszym południku λ_PZ)
• gλ zamieniamy na tλ
• od tλ odejmujemy algebraicznie λ_PZ
• otrzymaną wartością wchodzimy do Almanacha i odczytujemy moment kulminacji na naszym południku.
• Jeżeli jesteśmy na półkuli południowej, to słońce kulminuje w azymucie N, wówczas gλ = 12^h00^m00^s, czyli tλ = 180°00'0

Drugi sposób.

• Z Almanacha na dany dzień możemy odczytać moment kulminacji słońca na południku Greenwich (z tabelki).
• Jednostki λ_PZ z kątowych zamieniamy na czasowe
• Odejmujemy od tλ naszą λ_PZ i otrzymujemy moment kulminacji słońca na naszym południku.

Wzór na obliczenie szerokości geograficznej z kulminacji słońca jest nam znany.

Wystarczy policzyć.
Zanim to zrobimy, małe wyjaśnienie. Jeżeli aura nam sprzyja nic nie stoi na przeszkodzie aby określić szerokość geograficzną z kulminacji. Jak tylko decyzja zapadnie, że "robimy" kulminację, warto się do niej przygotować. Taka decyzja zawsze zapada przed kulminacją, przeważnie rano, o ósmej, dziewiątej lub dziesiątej godzinie czasu statkowego (LT - Local Time). Wówczas obliczamy naszą przyszłą PZ, chodzi tutaj szczególnie o długość geograficzną (na godz. 12-tą, LT) i w ten sposób minimalizujemy błąd obliczenia momentu kulminacji.

Za mała rozdzielczość ekranu.
Z uwagi na przejrzystość przykładu, proszę odwrócić ekran na poziomo, lub skorzystać z urządzenia o większym ekranie.

Przykład (pierwszy sposób)

Dnia 14.04.1996, jacht będzie na pozycji (PZ) - φ_PZ = 48°22'3N (?) ; λ_PZ = 023°35'3W, gdzie spodziewana jest kulminacja.
O której godz. GMT słońce będzie kulminować na naszym południku?

warunek górnej kulminacji    gλ = 00^h00^m00^s
zamieniamy na    tλ = 000°00'0
odejmujemy algebraicznie λ_PZ    (−) λ_PZ = −023°35'3

---

to = 023°35'3

Datą i to wchodzimy do Almanacha, odczytując:

April 14^d    to = 023°35'3
dla 13^h    GHA = 014°57'1

---

różnica    8°38'2

13^h           
z tą różnicą do tabeli poprawek    34^m33^s

---

kulminacja nastąpi na naszym południku    GMT = 13^h34^m33^s

Precyzyjnie obliczony moment kulminacji nie jest zbyt dokładnym, dlatego, że odnosi się li-tylko do λ_PZ = 023°35'3 W, a jak wiadomo jest to tylko pozycja zliczona, gdy tymczasem statek jest na innej, mimo, że zbliżonej pozycji. Dlatego pomiar wysokości słońca w czasie kulminacji wykonujemy następująco:

• Po obliczeniu momentu kulminacji, bierzemy do ręki sekstant i mierzymy wysokość słońca. Robimy to (rada dla początkujących) 10min. przed spodziewanym momentem kulminacji, czyli o godz. GMT = 13^h24^m00^s. Powód - nie znamy dokładnie naszej długości geograficznej i w ten sposób możemy przegapić moment kulminacji. Gdy dolna krawędź słońca dotyka widnokręgu - pomiar dokonany (A). Czekamy, nie zmieniając ustawień na sekstansie.
• Po dwóch minutach ponownie (nie zmieniając poprzedniego ustawienia na sekstansie), robimy pomiar wysokości słońca, niejako uzupełniamy poprzedni pomiar. Zauważamy, że dolna krawędź słońca jest nad widnokręgiem (oderwała się od widnokręgu). Ponownie sprowadzamy dolną krawędź na widnokrąg i czekamy następne dwie minuty.
• Sytuacja się powtarza, z tym, że dolna krawędź słońca coraz wolniej i "niżej" odrywa się od widnokręgu.
• Nadchodzi moment, gdzie krawędź słońca przestaje się odrywać od widnokręgu (jakieś dwie minuty przed właściwą kulminacją (B).
• Ten moment trwa mniej więcej cztery minuty i w tym momencie wiemy, że słońce kulminuje (C). Nie ma znaczenia odczyt kulminacji słońca dwie minuty przed, czy po kulminacji właściwej. Tor słońca w tym przedziale czasu jest prawie równoległy do widnokręgu i błąd jaki tu popełniamy jest minimalny i nieistotny (droga słońca B—D).
• Odczytujemy z sekstantu zmierzoną wysokość i obliczamy szerokość geograficzną.

Jak widzimy różnica wynosi (miedzy pierwszym a drugim sposobem) tylko 12^s. Jeżeli do pomiaru słońca przystępujemy z 10-cio minutowym wyprzedzeniem, a słońce kulminuje przez 4^m, to 12^s nie ma najmniejszego znaczenia.

2. Obliczanie szerokości geograficznej z górnej kulminacji.

Przy obliczaniu jakiegoś zagadnienia w Astronawigacji bardzo dużo pomyłek jest powodowanych przez niewłaściwe użycie znaków lub ich pomylenie. Wiele obliczanych zagadnień wymaga namysłu - jaki znak powinien być użyty. Można rozwiązać to w następujący sposób - polecam tą metodę.

Przykład 2

Dnia 22.04.1990, na (PZ) - φ_PZ = 30°05'0 N (?) ; λ_PZ = 030°28'3 W postanowiono obliczyć szerokość geograficzną z kulminacji słońca, a = 3m. Słońce kulminuje w azymucie (S).

Obliczamy w jakim momencie słońce będzie kulminować na powyższej pozycji.

tλ = 000°00'0
(−) φ_PZ = −30°28'3

---

to = 030°28'3

Tą wartością wchodzimy do Almanacha z argumentami (data i to), odczytujemy GHA (to) i δ słońca.

do Almanacha    to = 030°28'3
odczyt dla GMT = 14^h    030°22'4

---

różnica - do tablic interpolacyjnych    5'9

14^h          
00^m23^s

---

moment kulminacji - GMT    14^h00^m23^s

W momencie kulminacji zmierzono wysokość słońca (ho = 72°00'0), którą musimy poprawić.

ho = 72°00'0 S
ex = ±0'0    
(+) i = ±0'0    

---

ho = 72°00'0 S
op = ±12'6    
(+) dp = ±0'0    

---

hs = 72°12'6 S
(–) 90°00'0    

---

z' =+17°47'4 N
(+) δ = +12°13'9 N

---

φ = +30°01'3    

φ = 30°01'3 N

Proszę zwrócić uwagę na:

• przy zmierzonej wysokości słońca zapisaliśmy w jakim azymucie słońce kulminuje, a mianowicie (S)
• to nam dyktuje znak przy (z'). Zawsze jest przeciwny do azymutu słońca (w tym wypadku N). Nie musimy już myśleć jaki to znak powinien być przy (z'), to automatycznie się nam zapisuje (narzuca).
• znak (δ) odczytujemy z Almanacha.
• znak (φ) to wynik algebraicznego dodawania.

Przykład 3

Dnia 13.07.1996, na (PZ) - φ_PZ = 20°08'0 S (?) ; λ_PZ = 093°13'7 E postanowiono obliczyć szerokość geograficzną z kulminacji słońca, a = 4m. Słońce kulminuje w azymucie (N).

Obliczamy w jakim momencie słońce będzie kulminować na powyższej pozycji.

tλ = 360°00'0
(−) φ_PZ = +093°17'3

---

to 266°42'7

do Almanacha    to = 266°42'7
odczyt dla GMT = 05^h    253°34'2

---

różnica, do tabl. interpolacyjnych    13°08'5

05^h          
52^m34^s

---

moment kulminacji - GMT    05^h52^m34^s

W momencie kulminacji zmierzono wysokość słońca, którą musimy poprawić

ho = 48°05'3 N
ex = ±0'0    
(+) i = ±0'0    

---

ho = 48°05'3 N
op = +12'2    
(+) dp = –0'2    

---

hs = 48°17'3 N
(–) 90°00'0    

---

z' = –41°42'7 S
(+) δ = +21°46'7 N

---

φ = –19°56'0    

φ = 19°56'0 S

3. Obliczanie szerokości geograficznej z górnej kulminacji metodą przypołudnikową

Jak sama nazwa sugeruje jest to obliczanie szerokości geograficznej w momencie, kiedy słońce kulminuje "obok" południka miejscowego. Jednym słowem, musimy obliczyć poprawkę, która pozwoli nam na określenie wysokości słońca (kulminacji) na południku miejscowym a tym samym obliczenie szerokości geograficznej. możemy to zapisać tak:

ΔH - poprawka, którą obliczamy.
H - wysokość kulminacyjna (która faktycznie była) na miejscowym południku.
h_s - wysokość zmierzona, a następnie poprawiona o poprawki, w momencie obserwacji (po kulminacji).

W powyższych przykładach pokazaliśmy jak obliczyć szerokość geograficzną z kulminacji słońca ale w momencie gdy słońce kulminuje na południku miejscowym na, którym znajduje się obserwator.
Życie płata figle. Może się zdarzyć, że spóźnimy się z dokonaniem pomiaru kulminacji z przyczyn od nas nie zależnych. W momencie kiedy mieliśmy wykonać pomiar wysokości słońca, chmura zasłoniła nam słońce i to na dłuższy czas (przykładowo 15min) i po kulminacji. Nie jest tak źle. Możemy ten pomiar przeprowadzić jak tylko słońce wyjrzy zza chmury i obliczyć szerokość geograficzną i to bez błędu, który miałby jakieś zasadnicze znaczenie. Inaczej mówiąc pomiar dokonujemy nie na, a przy południku miejscowym (kulminacyjnym).

Wartości ΔH i ω w momencie pomiaru obliczamy wg wzorów.

Wzór na ΔH jest trochę skomplikowany, pokuśmy się go trochę przekształcić, tak aby go było łatwiej obliczyć. Wzór łatwo przekształcić wymnażając składniki liczbowe wzoru (0,25); (8); (cosec 1'), wówczas przekształcony wzór będzie krótszy.

Obliczenie kalkulatorem semiwersus gλ jest na ogół trochę skomplikowane, wobec tego zamieńmy go na funkcję cosinus i nasz wzór nie będzie taki ładny ale łatwiejszy w obliczeniu.

Przystępujemy do obliczenia ΔH i ω:

• Mierzymy wysokość słońca H (wg nas w kulminacji) i zapisujemy moment pomiaru możliwie jak najdokładniej.
• Poprawiamy zmierzoną wysokość słońca (H_s), oraz obliczamy gλ.
• Obliczamy ΔH i ω.
• Do poprawionej H_s dodajemy ΔH i otrzymujemy H.
• Obliczamy odległość zenitalną w momencie kulminacji: z' = 90° − H
• Algebraicznie do z' dodajemy δ i otrzymujemy szerokość geograficzną. Otrzymana szerokość jest szerokością punktu przecięcia się Alp z długością zliczoną. Czyli Alp nie jest równoległa do równoleżnika, ale określona szerokość na naszym południku (zliczonym) jest wystarczająco dokładna.

Uwaga: φ w tym wzorze to szerokość naszej PZ.

Przykład 4

Dnia 15.07.1996, na (PZ) - φ_PZ = 43°00'0 N (?) ; λ_PZ = 018°25'0 W
postanowiono obliczyć szerokość geograficzną z kulminacji słońca, a = 10m.
Słońce kulminuje w azymucie (S). Ho = 68°02'7; i = –2'0
Chr = 13^h33^m10^s, St.chr = +4^m20^s

Moment obserwacji.

Chr = 13^h33^m10^s
(+) St.chr = +4^m20^s

---

GMT = 13^h37^m30^s

Miejscowy kąt godzinny w momencie GMT

to = 13°30'4
popr = 9°22'5

---

to = 22°52'9
(+) λ = −18°25'0

---

tλ = 4°27'9
gλ = 4°27'9 W

Obliczamy ΔH wg wzoru,
kolej na wzór, ale najpierw spiszmy dane, jakie wprowadzimy do wzoru.

ΔH = 3437,75 cos δ cos φ cosec z' (1–cos gλ)

φ = 43°00'0 N
δ = 21°25'2 N
gλ = 4°27'9 W
z' = 21°34'8 N
(1−cos gλ)

cos 43°00'0 = 0,7313537
cos 21°25'2 = 0,9309283
cos 4°27'9 = 0,9969650
cosec 21°34'8 = 2,7188691
(1 − cos 0,9969650) = 0,0030350

log 3437,75 = 3,5362743
log cos δ = 9,9689163
log cos φ = 9,8641275
log cosec z' = 0,4343883
log (1−cos gλ) = 7,4821587

---

log ΔH = 1,2858650

ΔH = 19,3

Poprawiamy zmierzoną wysokość słońca

h = 68°02'7
i = –2'0

---

h = 68°00'7
op = 10'3
dp = –0'3

---

h_s = 68°10'7

Dodajemy obliczoną ΔH

h_s = 68°10'7
(+) ΔH = 19'3

---

H = 68°30'0

Obliczamy odległość zenitalną w momencie kulminacji na południku miejscowym

90°00'0
H = 68°30'0

---

z' = 21°30'0

Obliczamy szerokość na południku miejscowym

z' = +21°30'0
δ = +21°25'2

---

φ = +42°55'2

Obliczamy azymut wg wzoru

ω = (0,25 cos δ cosec (φ − δ)) ∗ gλ

Warunki do prawidłowego obliczenia azymutu:
gλ musi być wyrażona w jednostkach czasowych a konkretnie w minutach.
Ćwiartki azymutu określamy następująco: jeżeli z' jest dodatnie (+) azymut ten jest w ćwiartce S-dowej i odwrotnie (−) jest w ćwiartce N-dowej.

Wyrażamy gλ w minutach czasowych gλ = 4°27'9 = 18^m

Obliczamy w systemie ćwiartkowym azymut.

log 0,25 = 9,3979400
log cos δ = 9,9689163
log cosec z' = 0,4343883
log gλ = 1,2552725

---

log ω = 1,056517
ω = S11°5W
ω = 191°5

kierunek Alp    101°5 ↔ 281°5

Uwaga: Ta metoda ma swoje ograniczenia. Nie można jej stosować w każdym przypadku. Praktycznie metodę przypołudnikową można stosować jeżeli gλ (wyrażony w minutach czasowych) jest mniejszy od z' (wyrażonego w stopniach). [gλ < z']

Jeszcze tylko sprawdzian. Posłużmy się przykładem.

Przykład.

Będziemy bazować na PZ, φ_PZ = 35°00'0 N ; λ_PZ = 020°00'0 E, dnia 24.10.1996. Dodatkowe dane: a = 5m, i = –2'0

a) Metoda klasyczna:
Nawigator zdecydował, że obliczy szerokość z kulminacji gdy jacht będzie na pozycji φ_PZ = 35°00'0 N ; λ_PZ = 020°00'0 E

— pierwsza czynność, to obliczyć moment kulminacji na PZ

tλ = 360°00'0
(−) λ = +020°00'0

---

to = 340°00'0

— do Almanacha

340°00'0
333°57'4

---

6°02'6

10^h           
24^m10^s

---

moment kulminacji na PZ =   10^h24^m10^s

Jeszcze wypiszmy deklinację 0,9↓

δ = S 11°55'0
0'4

---

δ = S 11°55'4

— w momencie kulminacji zmierzono słońce, którego wysokość wyniosła ho = 43°04'0

— poprawiamy wysokość i obliczamy szerokość

ho = 43°04'0
(+) i = −2'0

---

ho = 43°02'0
op = +11'3
(+) dp = +0'1

---

h_s = 43°13'4
90°00'0
z' = +46°46'6
(+) δ = −11°55'4

---

φ = +34°51'2

b) Metoda przypołudnikowa:
Niestety nie udało się pomierzyć wysokości słońca w momencie kulminacji. Słońce zakryły chmury, to się zdarza. Po 18 minutach słońce wyszło z za chmury i zmierzono jego wysokość ho = 42°52'2
Wysokość zmierzono o GMT = 10^h42^m10^s. Reszta danych jak wyżej.

s

— obliczamy gλ oraz δ ; GMT = 10^h42^m10^s

10^h ------------------- 333°57'4
42^m10^s ------------ 10°32'5

---

to = 344°29'9
(+) λ = +20°00'0

---

tλ = 364°29'9
gλ = 4°29'9 W

kolej na δ

0'6↓     δ = S 11°55'0
0'6

---

δ = S 11°55'6

— obliczamy z'

φ = +35°00'0
(−) δ = −11°55'6

---

z' = +46°55'6

— kolej na wzory:

ΔH = 3437,75 cos δ cos φ cosec z' (1 – cos gλ)
ω = (0,25 cos δ cosec (φ – δ)) * gλ

log 3437,75 = 3,5362743
log cos δ = 9,9905227
log cos φ = 9,9133645
log cosec z' = 0,1363915
(+) log (1 − gλ) = 7,4886044

---

log ΔH = 1,0651574

ΔH = 11'6

— poprawiamy wysokość słońca i obliczamy jego wysokość w momencie kulminacji na miejscowym południku.

ho = 42°52'2
(+) i = −2'0

---

ho = 42°50'2
op = +11'3
(+) dp = +0'1

---

h_s = 43°01'6
(+) ΔH = 11'6

---

h = 43°13'2

— kolej na obliczenie szerokości i azymutu.

90°00'0
h = 43°13'2

---

z' = 46°46'8
(+) δ = −11°55'6

---

φ = +34°51'2

— gλ wyrażamy w minutach czasowych.

gλ = 4°29'9
gλ = 18^m

log 0,25 = 9,3979400
log cos δ = 9,9905222
log cosec z' = 0,1372911
log gλ = 1,2552725

---

log ω = 0,7810258

ω = S06°W
ω = 186°

kierunek Alp    096° ↔ 276°

Ktoś może zadać słuszne pytanie. Zaraz, zaraz, dlaczego bierzemy pod uwagę PZ a nie nową PZ czyli po 18 minutach. Praktycznie taka sytuacja wygląda tak:

• PZ (φ_PZ = 35°00'0 N ; λ_PZ = 020°00'0 E) miała być pozycją, na której miała być określona szerokość geograficzna.
• Nie pozwoliła na to pogoda (pochmurno), ale nawigator nie rezygnuje tak łatwo i czeka na pokładzie aż słońce przedrze się przez chmury.
• Stało się to po 18 minutach.
• Zostało to ukoronowane i wysokość została zmierzona.
• Jacht (zakładając, że v = 4w) przepłynie 1,2 Mm (o tyle się oddali od PZ), co nie ma znaczenia na wynik obliczeń. Co udowodniliśmy powyżej. A to dlatego, że gλ (wyrażony w minutach czasowych) jest mniejszy od z' (wyrażonego w stopniach).
  To jest granica do jakiej możemy się posługiwać "Metodą przypołudnikową".